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Convergence ?
l’an passé
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Membre depuis : il y a cinq années
Messages: 134
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Bonjour,
une aide pour. Merci S_U
Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.
Re: convergence ?
l’an passé
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Administrateur
Membre depuis : il y a six années
Messages: 9 928
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Fonction bornée, intégration sur un domaine borné...
donc elle converge? bien que non continue en 0?
Poirot, je ne comprends pas ton argument : la fonction indicatrice des rationnels de $[0,1]$ n'est pas franchement Riemann intégrable sur $[0,1]$, bien que bornée.
Edité 2 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par melpomène.
Applique le changement de variable $y=\dfrac{1}{t}$.
Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Fin de partie.
L'argument de l'indicatrice des rationnels est pertinent mais elle est quand même continue celle-ci, sauf en 0 mais où elle est bornée...
On peut aussi parler d'absolue convergence et en invoquant une quantité strictement croissante et majorée.
Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Dom.
L'argument de Poirot repose sur l'inégalité très simple $\int_a^b\bigl|\sin\frac1t\bigr|\mathrm{d}t\le(b-a)$ si $a\le b$, ce qui entraîne le critère de Cauchy pour l'intégrale de la valeur absolue de la fonction bornée et continue sur l'intervalle ouvert qu'il faut intégrer.
Re: Convergence ?
l’an passé
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Administrateur
Membre depuis : il y a six années
Messages: 9 928
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J'ai interprété la question pour l'intégration de Lebesgue. J'ai d'ailleurs oublié de préciser qu'il s'agissait d'une fonction mesurable.
Pas facile à dire laquelle intéresse Siméon-urbain, ce qui n'a pas grande importance puisque l'intégrabilité au sens de Riemann entraîne celle au sens de Lebesgue. Il est naturel que ce soit un peu plus difficile à montrer (critère de Cauchy contre majoration $\int_0^1|f|\le M<\infty$ si $|f|\le M$, sachant que $\int_0^1|f|$ existe dans $[0,\infty]$).
Bonjour à tous
merci de ce que vous faites, l'intégrale est de Riemann, j'ai fait le changement de variable de "fin de partie" ceci semble converger .
Mais quelle est sa valeur ??
Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.
merci beaucoup , je n'avais pas oser faire de DS , il prendre des risques ,merci de votre aide
bon w-e. cordialement S_U
Une remarque :
En effet, dans le premier message, on ne sait pas a priori de quelle intégrale on parle.
Par contre, dans le second message, on parle d'une éventuelle convergence et il me semble que c'est la terminologie réservée à l'intégrale de Riemann
Ici, il me semble tout indiqué de se placer sur l'intervalle semi-ouvert $]0\,,1]$ ; ainsi, cela définit une fonction continue intégrable au sens de Riemann, mais au sens généralisé, et donc aussi de Lebesgue.
Cordialement, j__j
« Intégrable au sens généralisé de Riemann » n’implique pas intégrable au sens de Lebesgue. C’est « intégrable au sens de Riemann » (la vraie Riemann-intégrabilité) qui implique la Lebesgue-intégrabilité. Le dernier « donc » de j__j me surprend.
En effet, lorsqu'il y a semi-convergence, c'est "la généralisée" de Riemann et c'est "non-Lebesgue".
Ici, c'est une généralisée de Riemann mais on a une absolue convergence donc c'est une bonne Lebesgue.
Oui oui tout à fait Dom. Mais, en plus de l’implication inexacte, il me semblait important de préciser je pense qu’une « intégrale généralisée convergente » n’est pas de l’intégrabilité à proprement parler. C’est juste l’existence d’une limite.
Mais venant de j__j, je pense que c’est juste de l’inadvertance.
Amathoué, je pense que tu te trompes. La fonction $t\mapsto\sin(t)/t$ a une intégrale (de Riemann) convergente sur $\R^+$ mais elle n'est pas intégrable (ni au sens de Riemann, ni au sens de Lebesgue). C'est une intégrale généralisée pour les deux théories.
Où ai-je dit le contraire? Edit: j’ai relu, tu ne fais que confirmer ce que je dis...
Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Amathoué.
En effet, j'avais mal lu.
Alors, je ne comprends pas pourquoi le « donc » de j__j te surprend, disons si on comprend la condition « intégrable pour Riemann au sens généralisé » comme « l'intégrale généralisée de la valeur absolue est convergente ».
NB : Peut-être que le vocabulaire n'est pas optimal, vous ne croyez pas ?
Eh bien selon ton même exemple, la fonction correspondante est « intégrable au sens généralisé de Riemann », mais je ne peux pas en conclure (d’où le « donc » inapproprié) qu’il y a Lebesgue-intégrabilité.
Oui, il y a certainement une insuffisance dans le vocabulaire utilisé.
Là, ça m'échappe : si « intégrable au sens généralisé de Riemann » signifie « l'intégrale de la valeur absolue est convergente », la fonction $t\mapsto\sin(t)/t$ ne l'est pas.
1- « intégrable au sens généralisé de Riemann » signifie bien l’intégrale de la fonction est convergente.
2- j’intervenais sur le caractère inexact du « donc » de j__j en général, car dans SON message , l’hypothèse de la convergence de l’intégrale de la valeur absolue n’y est pas.
3- Dom intervient en disant que c’est simplement vrai dans ce fil puisqu’il y a ici convergence de l’intégrale de la valeur absolue. Message que j’acsquiesce.
Edité deux fois: intro supprimée car non respecteuse, idem pour le point 4.
Edité 2 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Amathoué.
En effet, ma formulation est ambiguë : je pensais à intégrable au sens généralisé de Riemann = <<l'intégrale de la valeur absolue est convergente>> mais non pas seulement semi-convergente. Personnellement, je ne dirais pas que $t\mapsto\dfrac{\sin t}{t}$ est intégrable sur $]0,\,+\infty[$, et il me semble même que cela ne s'est jamais dit.
Cordialement, j__j
merci à tous pour votre travail et les nombreuses idées qui me font progresser
cordialement. S_U
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©Emmanuel
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