Polynôme somme partielle d'une série entière

La limite appartient à un espace fonctionnel que l'on appelle la classe de Polya-Laguerre : https://en.wikipedia.org/wiki/Laguerre–Pólya_class

Donner un exemple explicite d'une telle suite de coefficients est difficile (par contre, on peut en "construire" une par un argument perturbatif, par récurrence sur le degré des polynômes).

Cependant, si tu relaxes un peu ta condition et que tu autorises ta suite de coefficients à dépendre également du degré du polynôme, il plus facile de produire une telle suite (cf exemple du lien).

Bonjour Bobby-Joe et Amathoué.

J'ai l'impression que vos réponses ne correspondent pas à la question de Hicham, qui veut que les sommes partielles soient des polynômes scindés sur $\mathbb R$, pas seulement que la série soit limite d'une suite de tels polynômes.

Cordialement.

La classe de Laguerre-Polya est clairement le sujet, mais est bien plus grande que la classe de Hicham.

Par exemple $\exp(x) = \lim_{n \to \infty} (1+x/n)^n$ est une limite de polynômes à racines réelles mais $\sum_{k=0}^2 \frac{x^k}{k!}$ a des racines complexes.

A mi-chemin entre les deux classes on peut demander s'il existe une suite $n_j\to \infty$ telle que les $\sum_{k=0}^{n_j} \frac{x^k}{k!}$ ont toutes leurs racines réelles.

Je suppose que si les racines de $\sum_{k=0}^{n} x^k a_k$ sont dans $Im(x) \in (-\epsilon_n , 0) \cup (0,\epsilon_n)$ avec $\epsilon_n \to 0$ suffisamment vite alors $\sum_{k=0}^\infty x^k a_k$ est dans la classe de Laguerre-Polya (et dans aucune des deux autres) ?