Polynôme somme partielle d'une série entière
Bonjour à tous !
J'aimerais un exemple d'une série entière $\sum a_nx^n$ à coefficients dans $\R^*$ telle que les polynômes $P_n=\sum_{k=0}^na_kx^k$ soient scindés sur $\R$, pour $n>0$.
Je sais que le rayon de cv de cette série doit être $+\infty$ et j'ai essayé le développement de la fonction $\cos$, mais j'arrive seulement à montrer que le nombre de zéros réels tend vers l'infini.
Merci d'avance et cdlt, Hicham
J'aimerais un exemple d'une série entière $\sum a_nx^n$ à coefficients dans $\R^*$ telle que les polynômes $P_n=\sum_{k=0}^na_kx^k$ soient scindés sur $\R$, pour $n>0$.
Je sais que le rayon de cv de cette série doit être $+\infty$ et j'ai essayé le développement de la fonction $\cos$, mais j'arrive seulement à montrer que le nombre de zéros réels tend vers l'infini.
Merci d'avance et cdlt, Hicham
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Réponses
Je ne comprends pas ta question. La suite $(P_n)_n$ définie par $P_n(x)=\Pi_{i=1}^{n} (X-i)^n$ convient non?
Donner un exemple explicite d'une telle suite de coefficients est difficile (par contre, on peut en "construire" une par un argument perturbatif, par récurrence sur le degré des polynômes).
Cependant, si tu relaxes un peu ta condition et que tu autorises ta suite de coefficients à dépendre également du degré du polynôme, il plus facile de produire une telle suite (cf exemple du lien).
J'ai l'impression que vos réponses ne correspondent pas à la question de Hicham, qui veut que les sommes partielles soient des polynômes scindés sur $\mathbb R$, pas seulement que la série soit limite d'une suite de tels polynômes.
Cordialement.
Par exemple $\exp(x) = \lim_{n \to \infty} (1+x/n)^n$ est une limite de polynômes à racines réelles mais $\sum_{k=0}^2 \frac{x^k}{k!}$ a des racines complexes.
A mi-chemin entre les deux classes on peut demander s'il existe une suite $n_j\to \infty$ telle que les $\sum_{k=0}^{n_j} \frac{x^k}{k!}$ ont toutes leurs racines réelles.
Je suppose que si les racines de $\sum_{k=0}^{n} x^k a_k$ sont dans $Im(x) \in (-\epsilon_n , 0) \cup (0,\epsilon_n)$ avec $\epsilon_n \to 0$ suffisamment vite alors $\sum_{k=0}^\infty x^k a_k$ est dans la classe de Laguerre-Polya (et dans aucune des deux autres) ?
Cdlt, Hicham