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Polynôme somme partielle d'une série entière

Envoyé par hicham  
Polynôme somme partielle d'une série entière
il y a trois mois
Bonjour à tous !

J'aimerais un exemple d'une série entière $\sum a_nx^n$ à coefficients dans $\R^*$ telle que les polynômes $P_n=\sum_{k=0}^na_kx^k$ soient scindés sur $\R$, pour $n>0$.

Je sais que le rayon de cv de cette série doit être $+\infty$ et j'ai essayé le développement de la fonction $\cos$, mais j'arrive seulement à montrer que le nombre de zéros réels tend vers l'infini.

Merci d'avance et cdlt, Hicham
Re: Polynôme somme partielle d'une série entière
il y a trois mois
Bonjour Hicham,

Je ne comprends pas ta question. La suite $(P_n)_n$ définie par $P_n(x)=\Pi_{i=1}^{n} (X-i)^n$ convient non?
Re: Polynôme somme partielle d'une série entière
il y a trois mois
La limite appartient à un espace fonctionnel que l'on appelle la classe de Polya-Laguerre : [en.wikipedia.org]

Donner un exemple explicite d'une telle suite de coefficients est difficile (par contre, on peut en "construire" une par un argument perturbatif, par récurrence sur le degré des polynômes).

Cependant, si tu relaxes un peu ta condition et que tu autorises ta suite de coefficients à dépendre également du degré du polynôme, il plus facile de produire une telle suite (cf exemple du lien).
Re: Polynôme somme partielle d'une série entière
il y a trois mois
@Amathoué : il faut pouvoir passer de $P_n$ à $P_{n+1}$ en ajoutant un monôme de la forme $a_{n+1} X^{n+1}$ avec $a_{n+1}$ non nul, ce n'est pas le cas de ton exemple.
Re: Polynôme somme partielle d'une série entière
il y a trois mois
Bonjour Bobby-Joe et Amathoué.

J'ai l'impression que vos réponses ne correspondent pas à la question de Hicham, qui veut que les sommes partielles soient des polynômes scindés sur $\mathbb R$, pas seulement que la série soit limite d'une suite de tels polynômes.

Cordialement.
Re: Polynôme somme partielle d'une série entière
il y a trois mois
Oui effectivement, j’ai mal compris, et mes coefficients dépendent du degré...
Re: Polynôme somme partielle d'une série entière
il y a trois mois
La classe de Laguerre-Polya est clairement le sujet, mais est bien plus grande que la classe de Hicham.

Par exemple $\exp(x) = \lim_{n \to \infty} (1+x/n)^n$ est une limite de polynômes à racines réelles mais $\sum_{k=0}^2 \frac{x^k}{k!}$ a des racines complexes.

A mi-chemin entre les deux classes on peut demander s'il existe une suite $n_j\to \infty$ telle que les $\sum_{k=0}^{n_j} \frac{x^k}{k!}$ ont toutes leurs racines réelles.

Je suppose que si les racines de $\sum_{k=0}^{n} x^k a_k$ sont dans $Im(x) \in (-\epsilon_n , 0) \cup (0,\epsilon_n)$ avec $\epsilon_n \to 0$ suffisamment vite alors $\sum_{k=0}^\infty x^k a_k$ est dans la classe de Laguerre-Polya (et dans aucune des deux autres) ?



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par reuns.
Re: Polynôme somme partielle d'une série entière
il y a trois mois
Merci déjà pour vos réponses ; elles me rassurent car je pensais être passé à côté de quelque trivialité. En fait, non, ça semble profond.

Cdlt, Hicham
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