Dérivée à l'ordre n

Fabrice2 · November 2018

Bonjour à tous,
je souhaite montrer le résultat suivant :

Soit $f$ une fonction de classe $C^{\infty}$ (a priori réelle ou vectorielle). Montrer que $\forall n \in \N$ et $\forall t \neq 0$ :

$\left( t^{n-1} f \left(\frac{1}{t} \right) \right)^{(n)} = \frac{(-1)^n}{t^{n+1}} f^{(n)}\left(\frac{1}{t}\right)$.

J'ai tenté de la montrer par récurrence. Initialisation sans souci pour $n=0$ et $n=1$. Par contre je bloque pour montrer l'hérédité.
En effet, j'obtiens :
$\left( t^{n} f \left(\frac{1}{t} \right) \right)^{(n+1)} = \left( \left( t^{n} f \left(\frac{1}{t} \right) \right)^{'}\right)^{(n)} = \left( n t^{n-1} f \left(\frac{1}{t} \right)- t^{n-2} f'\left(\frac{1}{t}\right) \right)^{(n)} = \left( n t^{n-1} f \left(\frac{1}{t} \right) \right)^{(n)} - \left( t^{n-2} f'\left(\frac{1}{t}\right) \right)^{(n)} $ .

Je peux donc utiliser l'hypothèse de récurrence sur le 1er terme de la dernière expression obtenue, mais que faire du 2ème terme ?

Aussi est-il pas plus avantageux ou moins avantageux d'utiliser la formule de Leibniz ?

Merci pour vos retours !
Fabrice

YvesM · November 2018

Bonjour,

Tu dois écrire que la dérivée d’ordre $n+1$ est la dérivée de la dérivée d’ordre $n$. Puisque l’hypothése donne l’ordre $n$, alors on n’a qu’une dérivée à calculer... tu vois ?

Poirot · November 2018

C'est un tout petit peu plus subtil que ça, puisqu'il s'agit de calculer la dérivée de la dérivée $n$-ième de $t \mapsto t^nf(1/t)$, qu'on peut réécrire $$t \mapsto t \times t^{n-1}f(1/t).$$ On se retrousse les manches pour appliquer convenablement l'hypothèse de récurrence en partant de cette forme, Leibniz n'est pas très loin.

marsup · November 2018

Une autre approche.

On suppose établie pour toute $f$ la formule :
$$
\big[t^{n-1}\cdot f\big(\tfrac{1}{t}\big)\big]^{(n)}
=
\tfrac{(-1)^{n}}{t^{n+1}}\cdot f^{(n)}\big(\tfrac{1}{t}\big).
$$
On applique cette formule à $g:x\mapsto n \cdot f(x) - x \cdot f'(x)$.

En appliquant l'hypothèse de récurrence, on peut écrire :

$$
\big[t^{n-1}\cdot g\big(\tfrac{1}{t}\big)\big]^{(n)}
=
\tfrac{(-1)^{n}}{t^{n+1}}\cdot g^{(n)}\big(\tfrac{1}{t}\big)
$$
et on ne doit plus être très loin, car Leibniz donne : $g^{(n)}(x) = - x \cdot f^{(n+1)}(x)$.

Fabrice2 · November 2018

C'est très clair, merci à tous !

Dérivée à l'ordre n

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