La monotonie d'une fonction convexe

mokata · November 2018

Soit $ F: [0, \infty\color{red}{[}^ n \rightarrow [0, \infty\color{red}{[} $ une fonction convexe et telle que $ F (x_1, x_2, \ldots, x_n) = 0 $ si et seulement si $ x_i = 0 $ pour $ i = 1, \ldots, n $.

Est-ce que $ F $ est une fonction croissante, c'est-à-dire si $ x_i \leq y_i $ pour $ i = 1, \ldots, n $, alors $ F (x_1, x_2, \ldots, x_n) \leq F (y_1, y_2, \ldots, y_n) $?

Si non, avez-vous un contre-exemple en dimension deux par exemple ?
Pour $n=1$, je pense que c'est vrai.

mojojojo · November 2018

Pour $n=1$ que penses-tu de $f: x \mapsto -x$ ?

mokata · November 2018

La fonction doit être de $[0,\infty\color{red}{[}$ à valeurs dans $[0,\infty\color{red}{[}$ (:P)

mojojojo · November 2018

Ah oui, oui, je me disais aussi que c'était trop simple.

Je crois que j'avais déjà répondu à une question similaire pour $n=1$ sur un autre fil (et que j'avais également mal lu l’énoncé 8-)) . Bon lorsque $n=1$ la fonction est strictement croissante.

Prenons un point $x>0$, on a par hypothèse $f(x) >0$ et alors pour tout $y>x$ on a $f(y)-f(x)\geq (y-x)\frac{f(x)}{x}$ par convexité donc $f(y)> f(x)$. La fonction est bien strictement croissante sur $[0,+\infty[$.

On doit pouvoir appliquer la même technique pour $n\geq 1$ je suppose.

Math Coss · November 2018

L'inégalité que tu as écrite ne suffit-elle pas pour montrer que si $x_i\le y_i$ pour tout $i$, alors \[f(x_1,\dots,x_{k-1},x_k,y_{k+1},\dots,y_n)\le f(x_1,\dots,x_{k-1},y_k,y_{k+1},\dots,y_n)\]pour tout $k$ ?

mokata · November 2018

Oui, dans ce cas y a une équivalence entre le fait que $f$ est croissante et le fait qu'elle est croissante suivant chacune de ses variables.

Et alors ? (:P)

Math Coss · November 2018

Si tu prends $n=2$ et que tu écris les deux inégalités, que vois-tu ?

La monotonie d'une fonction convexe

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