Calcul de limite

v.cent1 · November 2018

Bonjour
Je voudrais obtenir de l'aide pour le calcul de la limite de (2x^2 - 3x + 1)*tan(pi*x) quand x tend vers 1/2.

Pour ce faire je pense utiliser un développement limité, mais je n'arrive pas à manipuler ma fonction pour me ramener à une limite en 0...

Si quelqu'un pouvait m'éclairer ce serait cool
Merci d'avance !

Bbidule · November 2018

Bonjour,

Tu peux montrer et utiliser l'égalité, vraie pour $x$ pris considéré sur un voisinage épointé de $\dfrac{1}{2}$:
$$f(x) = -\dfrac{2}{\pi}(x-1)\sin\left(\pi x\right)\dfrac{\pi (x-1/2)}{\sin(\pi (x-1/2))}$$
et reconnaître, pour lever la forme indéterminée, au niveau du dernier facteur, l'inverse du taux d'accroissement de $\sin$ en $0$, à une composition par $x\mapsto \pi\left(x-\dfrac{1}{2}\right)$ près (fonction qui possède bien une limite nulle en $\dfrac{1}{2}$.

Bien cordialement,

Cyrano · November 2018

Une autre façon. Tu as une indétermination $0$ sur $0$. En utilisant l'Hospital, il vient

$$\lim_{x\to 1/2} \frac{(2x^2-3x+1)\sin(\pi x)}{\cos(\pi x)}=\lim_{x\to 1/2} \frac{(4x-3)\sin(\pi x)+(2x^2-3x+1)\pi\cos(\pi x)}{-\pi\sin(\pi x)} =\frac{1}{\pi}$$ sauf erreur.

v.cent1 · November 2018

Merci pour vos réponses claires, elles m'ont beaucoup aidé ! :-D

jean lismonde · December 2018

bonsoir

la limite est en effet $\frac{1}{\pi}$

on pose x = 1/2 + t avec t qui tend vers 0

$tan(\pi.x)$ devient $\frac{-1}{tan(\pi.t)}$ et le trinôme du second degré devient $t(2t-1)$

on sait que le rapport $\frac{\pi.t}{tan(\pi.t)}$ tend vers 1 lorsque t tend vers 0

et donc la limite pour t tendant vers 0 de $\frac{-t(2t-1)}{tan(\pi.t)}$ est égale à $\frac{1}{\pi}$

cordialement

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