Équation diff et transformée de Laplace

@reuns. $\quad\int_0^\infty y'(t) e^{-pt}dt = pY(p)-y(0).$
Je comprends le mécanisme de résolution de ces équations différentielles avec la transformée de Laplace.
Là où cela bloque, c'est pour la transformée de Laplace INVERSE de quelque chose que j'obtiens en faisant les calculs : $\ \frac{2}{p^2+4}e^{-\pi p}$
Faut-il utiliser le produit de convolution ?
Dans ce cas, cela donnerait : $L^{-1}(\frac{2}{p^2+4}e^{-\pi p})=\int_0^t \sin(2u) \delta(t-u-\pi)du,$
avec $\delta$ la fonction impulsion de Dirac.
Merci.

@gerard0

merci, je vois mieux mais ma table de transformée de Laplace donne pour $e^{-pa} F(p)$ comme inverse $f(x-a)U(x)$ et non $f(x-a)U(x-a)$.

où est le problème?

En fait je n'ai pas vu que dans la table, il y ait écrit :
$f(t-a)U_a(t)$ pour la transformée inverse de $e^{-pa} F(p)$.
Je suppose donc que $U_a(t)=U(t-a)$.

Par contre, le prof a juste mis comme transformée de Laplace inverse de $\ \frac{2}{p^2+4}e^{-\pi p}$ la fonction $\sin\big(2(t-\pi)\big)=f(t-\pi)$.
A-t-il oublié quelque chose ?
Merci.

$f(x-a)U(x-a)$ signifie en fait que l'expression est nulle pour $x < a$. Peut-être que dans l'expression du prof, il y a sous-entendu que la fonction $\sin\big(2(t-\pi)\big)=f(t-\pi)$ n'est définie qu'à partir de $\pi$?