Compositions fonctions localement intégrables
Bonjour tout le monde, j'espère que vous êtes bien.
J'ai une question concernant la composition de deux fonctions localement intégrables. Je sais qu'en général que la composition de deux fonctions localement intégrables n'est pas une fonction localement intégrable (il y a des contre-exemples dans ce champs là).
Ma question c'est : quand la composée est vérifiée ? C-à-d si F est localement intégrable et si G une autre fonction (hypothèse à remettre sur G) quand FoG est Loc.Integ ?
Merci d'avance.
J'ai une question concernant la composition de deux fonctions localement intégrables. Je sais qu'en général que la composition de deux fonctions localement intégrables n'est pas une fonction localement intégrable (il y a des contre-exemples dans ce champs là).
Ma question c'est : quand la composée est vérifiée ? C-à-d si F est localement intégrable et si G une autre fonction (hypothèse à remettre sur G) quand FoG est Loc.Integ ?
Merci d'avance.
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Réponses
Bref, j'ai l'impression que dès que $G$ n'est pas constante par morceaux, on peut construire un $F$ localement intégrable tel que $F\circ G$ n'est pas localement intégrable.
Par exemple, la composée de deux fonctions Lebesgue mesurables n'est pas forcément Lebesgue mesurable. Mais comme tu ne précises pas quel type d'intégrale tu considères...
C'est en fait le contre-exemple ce que j'ai trouvé. Ta remarque est très logique ce que je vois moi aussi. Au contraire, si on ajoute des conditions supplémentaires sur le F on peut trouver le résultat (avec G juste localement intégrable). Par exemple si F est au plus affine i.e., |F(x)| =< a|x|+b (a,b >= 0).
Merci encore.
je pense que la composée de deux fonctions intégrables est toujours intégrable. Je parle de l'intégrale au sens de Lebesgue.
Merci
Il faut préciser les intervalles de continuité et d'intégrabilité. La fonction F dans le contre-exemple est définie sur ]0,1]. La composée n'est pas intégrable sur ]0,1] (ou [0,1] car c'est presque partout).
Merci.
Ensuite pour l'intégrabilité je te propose de regarder la composition $g \circ f$ où $f(x) =\frac {1}{ x^2} \mathbb 1_{[1;+\infty[} (x)$ et $g(x) = \mathbb 1_{[0;1]}(x)\sqrt x$.