Ordre de vp(1/x)
Bonjour
la valeur principale de Cauchy $vp (1/x)$ est définie par $$
\forall \varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}):
\langle vp \dfrac{1}{x}, \varphi \rangle = \lim_{\epsilon \to 0} \displaystyle\int_{|x|>\epsilon} \dfrac{\varphi(x)}{x} dx.
$$ Comment montrer que cette distribution n'est pas d'ordre 0 ? Je peine à trouver un bon contre-exemple.
Cordialement.
la valeur principale de Cauchy $vp (1/x)$ est définie par $$
\forall \varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}):
\langle vp \dfrac{1}{x}, \varphi \rangle = \lim_{\epsilon \to 0} \displaystyle\int_{|x|>\epsilon} \dfrac{\varphi(x)}{x} dx.
$$ Comment montrer que cette distribution n'est pas d'ordre 0 ? Je peine à trouver un bon contre-exemple.
Cordialement.
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Réponses
Sinon, pour montrer que cette distribution est d'ordre $1,$ tu peux exprimer $vp(\psi)$ (où $\psi$ est une fonction test) comme une intégrale (ne dépendant plus de $\varepsilon$).
Une construction classique est de définir $\varphi_n$ à support dans $[-2,2]$ en lui assignant la valeur $1$ sur $[1/n,1]$ et la valeur $0$ sur $[-2,1/2n];$
Comment tu construirais une suite $\psi_n \in C^\infty_c([a,b])$ avec $\|\psi_n\|_\infty$ bornée telle que $\langle \ln |x|, \psi' \rangle \to \infty$ ?
\int_{|x|\geq \epsilon} \dfrac{\varphi_n(x)}{x} dx&= \int_{-a}^{-\epsilon} \dfrac{\varphi_n}{x}dx + \int_{\epsilon}^a \dfrac{\varphi_n(x)}{x} dx \\
&= \int_{1/2n}^{1/n} \dfrac{\varphi_n(x)}{x}dx+ \int_{1/n}^1 \dfrac{\varphi_n(x)}{x}dx + \int_1^2 \dfrac{\varphi_n(x)}{x} dx \\
& \geq \int_{1/n}^1 \dfrac{1}{x} dx = \ln (n).
\end{align*}
1- $(\varphi_n)$ n'est pas ce qu'on appelle une suite de fonctions plateaux ?
2- C'est sûr qu'il y a un problème en 0 mais pourquoi prendre le compact sur lequel la suite vaut 1 : $[1/n,1]$ et pourquoi la prendre nulle sur exactement $[-2,1/2n]$ ? il me semble que c'est pour se débarrasser du zéro. J'ai raison ?
3- Puis on laisse une marge entre $1/2n$ et $1/n$ car la suite est continue.
Cordialement.