Différentes méthodes de résolutions EDO

Bonjour, j'ai une question concernant les différentes méthodes de résolution d'une équation différentielle linéaire du second ordre.
\[ \text{$(E)$: } 4xy^{\prime \prime} + 2y^{\prime} -y=0 \text{ où } \text{ $x \in \mathbb{R}$ } \]
J'ai veux résoudre $(E)$ en considérant que la solution est développable en série entière, puis en faisant un changement de variable en posant $t= \sqrt{\pm x}$
Pour chacune des méthodes je travail sur $\mathbb{R}^{+}$ puis sur $\mathbb{R}^{-}$. Mon soucis c'est que je n'obtiens pas tout à fait les mêmes résultats avec les deux méthodes et je bloque en faisant le développement en série entière sur $\mathbb{R}^{-}$. Voici ce que j'obtiens en développant en série entière:
On considère $u_{1}$ où $x \in \mathbb{R}^{+}$ tel que:
\[u_{1}(x)= \sum_{k=0}^{+ \infty}a_{k}x^{k}.\]
Notons $R$ le rayon de convergence de cette série, alors $R>0$ et $u_{1}$ est $C^{\infty}$ sur $ ]-R,R[$.

\[\text{On a: } u_{1}^{\prime}(x)= \sum_{k=1}^{+ \infty} ka_{k}x^{k-1} \text{, } u_{1}^{\prime \prime}(x)= \sum_{k=2}^{+ \infty} k(k-1)a_{k}x^{k-2} \]
En reportant dans $(E)$ nous obtenons:
\[ 4x \sum_{k=2}^{+ \infty} k(k-1)a_{k}x^{k-2}+ 2 \sum_{k=1}^{+ \infty} ka_{k}x^{k-1} - \sum_{k=0}^{+ \infty}a_{k}x^{k} \]
\[ 4 \sum_{k=1}^{+ \infty} k(k+1)a_{k+1}x^{k}+ 2 \sum_{k=0}^{+ \infty} (k+1)a_{k+1}x^{k} - \sum_{k=0}^{+ \infty}a_{k}x^{k} \]
On a donc
\[ \sum_{k=1}^{+ \infty} [\left(4k(k+1)a_{k+1}+ 2(k+1)a_{k+1} - a_{k}\right)x^{k}]+ 2a_{1}-a_{0} \]
\[ \sum_{k=1}^{+ \infty} [2(2k+1)(k+1)a_{k+1} - a_{k}]x^{k}+ 2a_{1}-a_{0} \]
$u_{1}$ est solution du problème si et seulement si on a $a_{1}=\dfrac{a_{0}}{2}$ et si $a_{k+1}= \dfrac{1}{2(2k+1)(k+1)}a_{k}$ pour $k \geq1$.
Nous en déduisons alors que:
\[ \forall k\geq 1 \text{ } a_{k}=\dfrac{a_{0}}{(2k)!} \]
Nous avons donc:

\[ \fbox{$ \forall x \in ]-R,R[$ $u_{1}(x)=a_0 \sum_{k=0}^{+ \infty} \dfrac{x^{k}}{(2k)!}$ }\]

Donc en étant dans $\mathbb{R}^{+}$ on a:
\[ \fbox{$ \forall x \in ]-R,R[$ $u_{1}(x)=a_0 \cosh(\sqrt{x})$}\]

Je vous expose mon raisonnement sur $\mathbb{R}^{-}$, car je ne suis pas sûr qu'il soit juste

De manière analogue nous allons déterminer $u_{2}$ où $x \in \mathbb{R}^{-}$. On a donc $-x \in \mathbb{R}^{+}$
\[u_{2}(-x)= \sum_{k=0}^{+ \infty}a_{k}(-1x)^{k}= \sum_{k=0}^{+ \infty}a_{k}(-1)^{k}x^{k}.\]
Notons $R$ le rayon de convergence de cette série, alors $R>0$ et $u_{2}$ est $C^{\infty}$ sur $ ]-R,R[$.

\[\text{On a: } u_{2}^{\prime}(-x)= \sum_{k=1}^{+ \infty}(-1)^{k} ka_{k}x^{k-1} \text{, } u_{2}^{\prime \prime}(-x)= \sum_{k=2}^{+ \infty} (-1)^{k}k(k-1)a_{k}x^{k-2} \]
En reportant dans l'équation différentielle nous obtenons:
\[ -4x \sum_{k=2}^{+ \infty} (-1)^{k}k(k-1)a_{k}x^{k-2}+ 2 \sum_{k=1}^{+ \infty} (-1)^{k}ka_{k}x^{k-1} - \sum_{k=0}^{+ \infty}(-1)^{k}a_{k}x^{k} \]
\[ 4 \sum_{k=1}^{+ \infty}(-1)^{k} k(k+1)a_{k+1}x^{k}- 2 \sum_{k=0}^{+ \infty} (-1)^{k}(k+1)a_{k+1}x^{k} - \sum_{k=0}^{+ \infty}(-1)^{k}a_{k}x^{k} \]
On a donc
\[ \sum_{k=1}^{+ \infty}(-1)^{k} [4k(k+1)a_{k+1}- 2(k+1)a_{k+1} - a_{k}]x^{k}- 2a_{1}-a_{0} \]
\[ \sum_{k=1}^{+ \infty}(-1)^{k} [2(2k-1)(k+1)a_{k+1} - a_{k}]x^{k}- 2a_{1}-a_{0} \]
$u_{2}$ est solution du problème si et seulement si on a $a_{1}=-\dfrac{a_{0}}{2}$ et si $a_{k+1}= \dfrac{1}{2(2k-1)(k+1)}a_{k}$ pour $k \geq1$.
C'est à ce moment que je bloque car lorsque j'emploie la méthode en faisant un changement de variable ça ne marche pas. Voici ce que j'obtiens en faisant le changement de variable.
Nous allons travailler sur dans $\mathbb{R}^{*}_{+}$. On pose $t=\sqrt{x}$. Donc:
\[t=\sqrt{x} \text{ et } x=t^{2}\] Alors
\[y(x)=z(t)=z(\sqrt{x})\]
On a:
\[y^{\prime}(x)= \dfrac{1}{2 \sqrt{x}}z^{\prime}(\sqrt{x}) \text{; } y^{\prime \prime}(x)= -\dfrac{1}{4x\sqrt{x}}z^{\prime}(\sqrt{x}) + \dfrac{1}{4x}z^{\prime \prime}(\sqrt{x}) \]
En réinjectant les expressions précédentes dans $(E)$ on obtient
\[ z^{\prime \prime}(\sqrt{x}) - \dfrac{1}{\sqrt{x}}z^{\prime}(\sqrt{x}) + \dfrac{1}{\sqrt{x}}z^{\prime}(\sqrt{x}) -z(\sqrt{x})=0\]
\[ z^{\prime \prime}(\sqrt{x}) - z(\sqrt{x})=0 \]
Soit:
\[ \text{$(E_{2})$: }z^{\prime \prime}(t) - z(t)=0 \]

Donc:
\[ z_{1}(t)=e^{t} \text{, } z_{2}(t)=e^{-t} \]
Puisque $t= \sqrt{x}$ alors
\[ y_{1}(x)=e^{\sqrt{x}} \text{, } y_{2}(x)=e^{- \sqrt{x}} \]
\[y(x)=\lambda e^{\sqrt{x}}+ \mu e^{-\sqrt{x}} \text{ où } \lambda \text{ et } \mu \text{ sont deux constantes. En posant } \lambda = \mu \text{ on a } y(x)= 2 \lambda \cosh(\sqrt{x}) \] On donc:
\[ \fbox{ $ \forall x \in \mathbb{R}^{*}_{+} \text{ } y(x)=2 \lambda \cosh(\sqrt{x})$ }\]


Nous allons travailler sur dans $\mathbb{R}^{*}_{-}$. On pose $t=\sqrt{-x}$. Donc:
\[t=\sqrt{-x} \text{ et } -x=t^{2}\] Alors
\[y(x)=z(t)=z(\sqrt{-x})\]
On a:
\[y^{\prime}(x)= -\dfrac{1}{2 \sqrt{-x}}z^{\prime}(\sqrt{-x}) \text{; } y^{\prime \prime}(x)= -\dfrac{1}{4(-x)^{3/2}}z^{\prime}(\sqrt{x}) - \dfrac{1}{4x}z^{\prime \prime}(\sqrt{x}) \]
En réinjectant les expressions précédentes dans $(E)$ on obtient
\[ -z^{\prime \prime}(\sqrt{-x}) + \dfrac{1}{\sqrt{-x}}z^{\prime}(\sqrt{-x}) - \dfrac{1}{\sqrt{-x}}z^{\prime}(\sqrt{-x}) -z(\sqrt{-x})=0\]
\[ -z^{\prime \prime}(\sqrt{-x}) - z(\sqrt{-x})=0 \]
Soit:
\[ \text{$(E_{3})$: }-z^{\prime \prime}(t) - z(t)=0 \]
Donc:
\[ z_{1}(t)=\cos(t) \text{, } z_{2}(t)= \sin(t) \]
Puisque $t= \sqrt{-x}$ alors
\[ y_{1}(x)=\cos(\sqrt{-x}) \text{, } y_{2}(x)=\sin( \sqrt{-x}) \]
\[y(x)=\lambda \cos(\sqrt{-x})+ \mu \sin( \sqrt{-x}) \text{ où } \lambda \text{ et } \mu \text{ sont deux constantes.} \]
Donc:
\[ \fbox{ $\forall x \in \mathbb{R}^{*}_{-} \text{ } y(x)= \lambda \cos(\sqrt{-x})+ \mu \sin( \sqrt{-x})$} \]

Je veux savoir où est-ce que je fais fausse route. Je sais qu'en plus je dois conclure en me plaçant sur $\mathbb{R}$ tout entier.
Cordialement