Norme atteint son maximum sur la frontière

Je n'ai pas vu ton fichier.

Si $f$ est la norme, moi je n'utilise pas $C^1$ pour cet exercice, en terme de régularité la continuité me suffit et elle provient de la Lipschitzianité de la norme.

Je te donne quelques pistes pour fonder ton argumentation.

1) Tout d'abord y a-t-il une hypothèse que $U$ soit borné ? Si non, la norme n'admettra pas de maximum.

2) Supposant que $U$ soit borné, vois-tu pourquoi le maximum existe ?

3) Supposons que le maximum soit atteint en un point $u \in U$. Vois-tu pourquoi $u$ est non nul ? Peux-tu trouver des $v$ proches de $u$ (suffisamment pour être dans l'ouvert) et en lesquels la norme est plus grande ?