Dérivabilité

siostwiste · December 2018

Bonjour
S'il vous plait, j'ai besoin d'un peu d'aide.
J'ai une question sur le domaine de dérivabilité de $\arcsin\Big(\dfrac{1+x}{\sqrt{2(1+x^2)}}\Big)$.
Je sais que $\arcsin\Big(\dfrac{1+x}{\sqrt{2(1+x^2)}}\Big)$ est dérivable ssi $\dfrac{1+x}{\sqrt{2(1+x^2)}}$ est dans $]-1,1[$.
J'ai des problèmes dans les bornes de l'intervalle. En fait, pour $\dfrac{1+x}{\sqrt{2(1+x^2)}}=1$ j'ai trouvé que $x=1$, mais le problème pour $\dfrac{1+x}{\sqrt{2(1+x^2)}}=-1$, je passe au carré et je trouve toujours la même solution $x=1$.
Merci d'avance.

rakam · December 2018

Bonjour !
Tu veux dire que $\dfrac{1+1}{\sqrt{2(1+1)}}=-1$ ? Il y a un sérieux problème !

siostwiste · December 2018

Mon problème c'est de résoudre $\dfrac{1+x}{\sqrt{2(1+x^2)}}=-1$. Je n'arrive pas à trouver les valeurs de $x$.

gerard0 · December 2018

Bonjour.

Pourquoi ne pas étudier la fonction $x\mapsto \dfrac{1+x}{\sqrt{2(1+x^2)}}$ ? D'ailleurs, savoir quand elle vaut -1 n'a aucun intérêt, ce qui importe, c'est quand elle est strictement plus grande que -1 (donc pas égale) et strictement plus petite que 1.

Cordialement.

siostwiste · December 2018

Bonsoir
On sait que la fonction $x \mapsto \arcsin(x)$ est dérivable sur l'intervalle ouvert $]-1,1[$. Donc je dois chercher les valeurs de $x$ tel que $\dfrac{1+x}{\sqrt{2(1+x^2)}}=1$ et $\dfrac{1+x}{\sqrt{2(1+x^2)}}=-1$. Et déjà j'ai trouvé que $-1\leq\dfrac{1+x}{\sqrt{2(1+x^2)}}\leq 1 $ quelque soit $x$ dans $\mathbb{R}$.

gerard0 · December 2018

Alors comme tu as déjà trouvé une solution pour =1 et aucune pour =-1 (et pour cause, si tu avais fait l'étude correctement, tu aurais vu que ta fonction n'atteint pas -1), tu as fini, tu connais le domaine de dérivabilité.

Cordialement.

bisam · December 2018

Il y a quand même un gros problème de logique au départ !

siostwiste a affirmé :

Je sais que $\arcsin\Big(\dfrac{1+x}{\sqrt{2(1+x^2)}}\Big)$ est dérivable ssi $\dfrac{1+x}{\sqrt{2(1+x^2)}}$ est dans $]-1,1[$.

C'est malheureusement un très mauvais point de départ. La condition est suffisante mais pas nécessaire.
Par exemple, la fonction $x\mapsto |x^2|$ est dérivable en 0, bien que la valeur absolue ne le soit pas et que $x^2$ prenne la valeur 0 lorsque $x=0$.

Il est donc bien important, ici, d'étudier également les cas particuliers où l'expression qui est le paramètre de la fonction $\arcsin$ atteint (éventuellement) les valeurs 1 ou -1... Mais on ne pourra se contenter de dire "ce n'est pas dérivable" : il sera nécessaire de revenir au taux d'accroissement (ou à d'autres théorèmes).

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