Suite récurrente

Est-ce que tu as essayé d'étudier la suite $v_n = \frac{u_{n+1}}{u_n}$ ?

Oui, on peut écrire :

$u_{n+2} = u_n+u_{n+1} - 2 \frac{u_{n}\cdot u_{n+1}}{u_n+u_{n+1}}$

et on reconnaît $2\times$ moyenne arithmétique $-$ moyenne harmonique, c'est ça ?

Bonjour,

On peut montrer que les termes impairs forment une suite croissante et que les termes pairs forment une suite décroissante. Ces deux suites sont adjacentes. La suite possède donc une limite.

Puisque $$(u_n-\frac{u_{n+2}}{2})^2+(u_{n+1}-\frac{u_{n+2}}{2})^2=\frac{u^2_{n+2}}{2}$$ s'interprete comme l'equation d'un cercle dans le plan euclidien rapporte a un repere orthonorme $Oxy$ on passe de $A_{n+1}=(u_n.u_{n+1})$ a $A_{n+2}$ geometriquement ainsi ; si $D$ est la bissectrice des axes, on projette $A_{n+1}$ sur $D$ perpendiculairement, obtenant un point $B_{n+1}=(u_{n+2},u_{n+2})$ dont la connaissance permet de construire $A_{n+2}.$ C'est interessant a iterer et on voit pourquoi la limite de la suite $(A_n)$ existe mais je doute qu'elle soit calculable en fonction de $A_1.$



Derniere remarque vraiment bete, car le dessin montre que $\lim u_n=\max (u_0,u_1).$ En effet l'exo est finalement trivial puisque


$$\max (u_1,u_2)=\max (u_0,u_1).$$

J'ai fait une erreur, le dessin etait trompeur et $\max (u_0,u_1)=\max(u_1.u_2)$ n'implique nullement que $n\mapsto \max(u_{n-1},u_n)$ soit constant, comme me l'a fait remarquer Math Coss (qui observe numeriquement que $u_0=1$, $u_2=2$ donne la limite $1,79...$)

Moui... Voici le graphe de $v:x\mapsto u_{100}(1,x)$ pour $x$ entre $1$ et $15$ (en bleu) et la corde passant par $(1,1)$ et $(15,v(15))$. C'est fort plat (mais pas tout à fait) !

On peut aller plus loin : $\ell(x) = x-\dfrac{2}{3} + \dfrac{14}{9x} - \dfrac{166}{81x^2} + \dfrac{2674}{1215x^3} + \mathcal{O}\left( \dfrac{1}{x^4}\right)$.