Ensemble des équation du second degré

Bonjour,

Non, clairement. Par exemple : $\displaystyle (a,b,c) = (0,1,-1)$ implique $\displaystyle x-1=0$ et donc $\displaystyle |x|=1.$

On peut écrire la racine complexe de module $1$ comme $\displaystyle x = e^{i \theta}, \theta \in ]-\pi, \pi]$ : on reporte et on identifie parties réelle et imaginaire. Le système est : $\displaystyle a \cos(2 \theta) + b \cos \theta + c=0, a \sin (2 \theta) + b \sin \theta=0.$ On linéarise les cosinus et sinus.

Dans le cas $\displaystyle \sin \theta = 0$ et donc $\displaystyle \theta=0$ ou $\displaystyle \theta = +\pi$, on trouve $\displaystyle (a \neq 0, 0,-a)$, càd $a(x^2-1)=0$, et $\displaystyle (a \neq 0, \pm 2 a,a)$, càd $a(x\pm1)^2=0.$
L'autre cas est $\displaystyle 2 a \cos \theta + b=0$, que je laisse aux amateurs... Moi je trouve $\displaystyle (a \neq 0,b,a), |{b \over 2a}| \leq 1$, càd $\displaystyle a x^2+bx+a=0$ dont les solutions sont $\displaystyle x = {1 \over 2a} (-b \pm i 2a \sin \theta), \cos \theta = -{b \over 2 a}, a \neq 0.$ Enfin, le cas $\displaystyle a=0$ donne $\displaystyle (0, b \neq 0, \pm b)$, càd $\displaystyle b(x \pm 1) = 0.$

Résumé :
$\displaystyle (a \neq 0, 0,-a)$, càd $a(x^2-1)=0.$
$\displaystyle (a \neq 0, \pm 2 a,a)$, càd $a(x\pm1)^2=0.$

$\displaystyle (a \neq 0,b,a), |{b \over 2a}| \leq 1$ ou encore $\displaystyle (a \neq 0,- 2 a \cos \theta,a)$, càd $\displaystyle a x^2+bx+a=a x^2 - 2 a \cos \theta x+a = a(x -e^{i \theta})(x -e^{-i \theta})=0$ dont les solutions sont $\displaystyle x = {1 \over 2a} (-b \pm i 2a \sin \theta)=e^{\pm i \theta}, \cos \theta = -{b \over 2 a}, a \neq 0.$ Ce cas rassemble les deux précédents que l'on obtient avec $b=0$ et $b = \pm 2a.$
$\displaystyle (0, b \neq 0, \pm b)$, càd $\displaystyle b(x \pm 1) = 0.$

Ce que tu proposes ne peut pas marcher puisque le problème est homogène en $(a,b,c)$ : si $ax^2+bx+c=0$ alors $\lambda ax^2+\lambda b x + \lambda c$ aussi pour tout réel $\lambda$, tandis que la caractérisation que tu proposes n'est pas homogène en $(a,b,c)$. Indépendamment de ça, ta condition n'est pas vérifiée pour le triplet $(1,2,1)$. Il vaut mieux considérer tes triplets à multiplication par un réel près, c'est-à-dire comme des éléments de $\mathbb P^2(\mathbb R)$.

Notons $\mathcal T \subset \mathbb P^2(\mathbb R)$ ton ensemble. Soit $(a:b:1) \in \mathcal T$ et soit $x$ vérifiant $ax^2+bx+1=0$. Alors l'autre solution de cette équation est $\overline{x}$ puisque $x$ est de module $1$, et le produit des racines doit faire $1$. On en déduit que si $(a:b:c) \in \mathcal T$ alors $(c:b:a) \in \mathcal T$ puisque si $x \in \mathbb C$ est de module $1$, alors $ax^2+bx+c=0$ si et seulement si $ax+b+c\overline{x}=0$, puis on en déduit que si $(a:b:c) \in \mathcal T$ alors $a=c$ car $\{x, \overline{x}\}$ est l'ensemble des solutions de $ax^2+bx+c=0$ et de $cx^2+bx+a=0$. Enfin, si $(1:b:1) \in \mathcal T$ alors $|b| \leq 2$ puisque, en notant toujours $x$ une racine, on a $b = 2 \mathfrak{Re}(x)$.
Finalement ces conditions sont également suffisantes car $x$ de module $1$ est racine de $x^2+bx+1=0$ si et seulement si $x+b+\overline{x}=0$.

@Poirot: tu as loupé le cas des racines $1$ et $-1$, je crois.


Mel

Bonjour,

J'ai résolu le truc... http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1745936,1745944#msg-1745944.

@melpomène : bah $1$ et $-1$ sont des complexes de module $1$ comme les autres non ? On les trouve pour $a=c=1$ et $b= \pm 2$ et $b=0$ par exemple.

Effectivement, merci (tu)