Suite de fonctions
Bonjour à tous,
J'étudie la convergence simple de la fonction $f_n(x)=n^2x(1-nx) \text{ si } x \in [0;1/n] \text{ et } f_n(x)=0 \text{ sinon}$ définie sur $[0;1]$.
Je vois bien que pour $x=0$ et pour $x \in [1/n;1]$ la fonction va converger vers la fonction nulle.
Par contre je n'arrive pas à démontrer que c'est le cas également pour tout $x \in ]0;1/n[$.
L'étude des variations me donne un maximum $n/4$ en $\dfrac{1}{2n}$.
J'ai pensé au critère séquentiel de la continuité qui me permettrait d'écrire $\lim \limits_{n \rightarrow +\infty} f\left(\dfrac{1}{2n}\right) = f(0)$, mais comme j'ai un $f_n$ et non un $f$, je me demande si j'ai le droit de l'appliquer.
En vous remerciant d'avance pour vos réponses.
J'étudie la convergence simple de la fonction $f_n(x)=n^2x(1-nx) \text{ si } x \in [0;1/n] \text{ et } f_n(x)=0 \text{ sinon}$ définie sur $[0;1]$.
Je vois bien que pour $x=0$ et pour $x \in [1/n;1]$ la fonction va converger vers la fonction nulle.
Par contre je n'arrive pas à démontrer que c'est le cas également pour tout $x \in ]0;1/n[$.
L'étude des variations me donne un maximum $n/4$ en $\dfrac{1}{2n}$.
J'ai pensé au critère séquentiel de la continuité qui me permettrait d'écrire $\lim \limits_{n \rightarrow +\infty} f\left(\dfrac{1}{2n}\right) = f(0)$, mais comme j'ai un $f_n$ et non un $f$, je me demande si j'ai le droit de l'appliquer.
En vous remerciant d'avance pour vos réponses.
Réponses
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Bonjour.
"J'étudie la convergence simple de la fonction.." ?? Il n'y a pas de suite, donc pas de convergence.
C'est sans doute plutôt "J'étudie la convergence simple de la suite de fonctions ..." que tu voulais dire. mais justement, ton expression fautive fait que tu ne comprends pas vraiment ce qui se passe :
"Par contre je n'arrive pas à démontrer que c'est le cas également pour tout $x \in ]0;1/n[$" ??? C'est quoi ce $n$, il vaut combien ? Ben justement, il varie et on se pose la question de ce qui se passe quand il tend vers l'infini. Et que devient alors cet intervalle ?
En fait, on s'intéresse ici à ce qui se passe en 0 (suite constante nulle) et pour un $x>0$, où pour $n$ suffisamment grand, $f(x)=0$. Fini !
Cordialement. -
Oui ! On considère un $x$, et on étudie la suite $f_n(x)$. Il existe un rang à partir duquel $1/n \leq x$, d'où la convergence simple.
Merci pour votre aide !!
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