Expression d'un produit avec des factorielles

Je précise que l'objectif premier était de calculer la somme de cette série...

Je pensais faire apparaître des factorielles un peu comme pour calculer la série alternée des ln(1+1/k) mais ça n'a pas l'air de marcher.
Je voulais calculer cette somme mais je ne connais pas d'autres méthodes que passer par un produit et Sterling donc voilà, mais peut-être qu'elle n'est pas calculable tout simplement.