Injection de Sobolev

Bonsoir

Je pense qu'il suffit d'appliquer les théorèmes d'injection de Sobolev, d'abord sur les dérivées d'ordre 2 pour obtenir l'espace de Lebesgue dans lequel vivent les dérivées d'ordre 2, puis appliquer à nouveau les injections de Sobolev pour les dérivées d'ordre 1.
Bons calculs !

O.G.

Si si dans le Brezis y-a-tout-ce-qu'il-faut. Dans le chapitre Sobolev (cas général), voir les théorèmes d'injections de Sobolev. Évidemment le théorème concerne $W^{1,p}$ et pas $W^{3,p}$, mais si $u$ est dans $W^{3,p}$ dans quel espace vit $\frac{\partial^2u}{\partial x_i\partial x_j}$ ?

et avec les injections de Sobolev dans quel $L^q$ ?

Il faudrait aussi savoir qui est $\Omega$, borné ou pas borné. Pas sûr que cela joue un rôle important.

Que donnent les théorèmes d'injection de Sobolev ?

Déjà, est-ce que w^(1,p) est inclus dans w^(1,infini) ?

Malheureusement non, il n'y a aucune raison d'avoir cette inclusion, grosso modo cela revient à dire que $L^p$ s'injecte dans $L^\infty$ !?
Par contre en dimension 2 et pour $p>2$, $W^{1,p}$ s'injecte continûment dans $L^\infty$ (même un peu mieux).
Pour certaines valeurs de $p$ il y a des chances que $W^{2,p}$ et avec encore moins de restriction sur $p$, $W^{3,p}$ s'injectent continûment dans $W^{1,\infty}$.
Pour cela il faut lire, relire, rerelire tout cours sur les Sobolev...