Une équation différentielle

Bonjour
Merci pour ce retour. La démarche suivante vous parait-elle saine (à la rigueur près) ?

Nous savons que $\quad\displaystyle \frac{y\{\,\prime}}{a \cdot e^{-b \cdot y} + c} = 1.$
En opérant un changement de variable tel que $\quad\displaystyle Y = e^{-b \cdot y}$ $$
Y^ \prime = -b \cdot y^{\,\prime} e^{-b \cdot y} = -b \cdot y^{\,\prime} Y
$$ Donc $\quad\displaystyle y^{\,\prime} = -\frac{1}{b} \frac{Y^\prime}{Y} = -\frac{1}{b \cdot Y} dY$
L’équation se réécrit $\quad\displaystyle \frac{1}{Y} \cdot \frac{1}{aY + c} dY = -b.$
Sachant que $\quad\displaystyle \frac{1}{Y} \cdot \frac{1}{aY + c} = \frac{1}{c} \left( \frac{1}{Y} - \frac{a}{aY+c} \right)$
Alors $\quad\displaystyle \left( \frac{1}{Y} - \frac{a}{aY+c} \right) dY = -bc.$
En intégrant : $\quad\displaystyle \int \frac{1}{Y} dY - \int \frac{a}{aY+C} dY = -bc \ \int dX.$
Ce qui donne $\quad\displaystyle \ln|Y| – \ln|aY + c| = -bcX + k.$
Et donc $\quad\displaystyle \ln \left| \frac{Y}{aY+c} \right| = -bcX + k.$
On continue $\quad\displaystyle \frac{Y}{aY+c} = e^{- \left( bcX +k \right)}.$
En regroupant les $Y$ j’aboutis à $\quad\displaystyle Y = \frac{c e^{- \left( bcX +k \right)} } {1 – a e^{- \left( bcX +k \right)} }.$
Puis $$ y = \frac{-1}{b} \ln|Y|= \frac{-1}{b}\ln \left| \frac{c e^{- \left( bcX +k \right)} } {1 – a e^{- \left( bcX +k \right)} } \right|

$$ (cela m'apparaît bien compliqué comme expression :-) )
Paul.

[Ne pas abuser des expressions centrées. ;-) AD]