Globalement hypoelliptique

floyd mayweather
floyd mayweather
dans Analyse
Bonsoir,

Est-ce que les fonctions propres d'un opérateur globalement hypoelliptique sont dans l'espace de Schwartz $\mathbb { S }$.

Remarque un opérateur $L$ est dit globalement hypoelliptique

Si $u \in \mathbb { S } ^ { \prime } , L u \in \mathbb { S } \Rightarrow u \in \mathbb { S }$

Sinon quelle condition faut-il ajouter pour que le résultat soit correct?

Merci.

Réponses

  • Tableau Blanc
    Tableau Blanc
    Bonjour, as-tu un exemple d'opérateur hypoelliptique ? (La réponse est dans le nom)
    Quelle est la régularité des fonctions propres de cet opérateur ?
    Conclusion ?
  • floyd mayweather
    floyd mayweather
    Bonsoir

    Si $T$ est hypoelliptique et $f\in L^2$ une fonction propre de $T$ associée à $m$ alors $(T-a)f=0\in S$ donc $f$ dans $S$. Un exemple classique l'oscillateur harmonique quantique.
  • Tableau Blanc
    Tableau Blanc
    Non, il y a des exemples bien plus simples, comme le Laplacien par exemple (puisque les opérateurs elliptiques sont hypoelliptiques).

    Tu ne réfléchis pas, tu ne suis pas les indications que je te donne et tu écris des choses fausses.

    Je t'aide une dernière fois : regardons le Laplacien sur $L^2(0,\pi/2)$ avec pour domaine $H^2_0(0,\pi/2)$.
    Quelles sont ses fonctions propres ? Quelle est leur régularité ?
  • floyd mayweather
    floyd mayweather
    La démonstration que j'ai donnée est correcte. En effet si $f\in L^2\subset S'$ et $(T-\lambda)f=0\in S$ par hypoellipticité on a le résultat.

    Le laplacien sur $\R^n$ n'est pas hypoelliptique, sinon il serait à résolvante compacte.

    Sur le domaine que tu m as donné, ses fonctions propres ne sont pas dans l'espace de Schwartz.
  • Tableau Blanc
    Tableau Blanc
    Bon si c'est correct, fais comme tu as envie, j'ai pas de temps à perdre.
  • floyd mayweather
    floyd mayweather
    Bonjour
    Je suis désolé, tu m'as fait installé le doute. Ma méthode est-elle correcte ?
  • floyd mayweather
    floyd mayweather
    Elliptique n'implique pas hypoelliptique.
  • reuns
    reuns
    Tu obtiens quoi avec $Df = f'$ sur l'espace de Hilbert avec la norme $\|f\|^2 = \int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2 e^{-x^2}dx$ ?

    $Df$ est non borné. Si tu préfères un opérateur bien défini alors $T f =f \ast e^{-x^2}$ dont les fonctions propres sont à peu près les mêmes (comme tous les opérateurs convolutifs)
  • floyd mayweather
    floyd mayweather
    Bonjour, @reuns.

    Dans ton cas les fonctions propres ne sont pas en général dans l'espace de Schawrtz, (La définition que j'ai donnée est valable uniquement pour l'espace classique $L^2$.
  • reuns
    reuns
    T'as essayé de modifier toutes ces propositions pour que ça colle aux conditions que tu sembles demander ? Quelles sont-elles exactement ?

    Tu obtiens quoi ?
  • floyd mayweather
    floyd mayweather
    Remarque un opérateur $L$ est dit globalement hypoelliptique

    Si $u \in \mathbb { S } ^ { \prime }(\R^n) , L u \in \mathbb { S }(\R^n) \Rightarrow u \in \mathbb { S }(\R^n)$.

    Pour l'exemple que tu as posé alors $f(x)=e^x$ n'est pas dans $\mathbb { S }(\R^n)$ bien qu'elle est dans $L^2(e^{-x^2}dx)$.

    Si $f$ est une fonction propre dans l'espace usuel $L^2(\R^n,dx)$ d'un opérateur globalement hypoelliptique associée à une valeur propre $\lambda$, alors $f\in L^2\subset \mathbb { S } ^ { \prime }(\R^n)$ et $(L-\lambda)f=0\in \mathbb { S }(\R^n)$ implique $f\in \mathbb { S }$.
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