Fonction Lebesgue-intégrable
Bonjour,
comment je peux justifier que la fonction $\frac {1} {|x-r|^a}$ est Lebesgue-intégrable sur $[0,1]$ pour $a\in]0,1[$ et $r\in[0,1]$ ? La calculer est-il suffisant ou dois-je justifier quelque chose avant ?
Je trouve $\frac{(1-r)^{1-\alpha}+r^{1-\alpha}} {1-\alpha}$ en calculant $\int_{0}^{1} \frac {1} {|x-r|^a} \,\mathrm{d}x$ mais dans la suite de la question il est noté $\int_{0}^{1} \frac {1} {|x-r|^a} \,\mathrm{d\lambda}(x)$ où $\lambda$ désigne la mesure de Lebesgue. Est-ce équivalent ?
Merci.
comment je peux justifier que la fonction $\frac {1} {|x-r|^a}$ est Lebesgue-intégrable sur $[0,1]$ pour $a\in]0,1[$ et $r\in[0,1]$ ? La calculer est-il suffisant ou dois-je justifier quelque chose avant ?
Je trouve $\frac{(1-r)^{1-\alpha}+r^{1-\alpha}} {1-\alpha}$ en calculant $\int_{0}^{1} \frac {1} {|x-r|^a} \,\mathrm{d}x$ mais dans la suite de la question il est noté $\int_{0}^{1} \frac {1} {|x-r|^a} \,\mathrm{d\lambda}(x)$ où $\lambda$ désigne la mesure de Lebesgue. Est-ce équivalent ?
Merci.
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Réponses
Par le théorème de convergence monotone, elle coïncide avec la limite de
$\int_{0}^{1} \frac {1}{|x-r|^a} 1_{|x-r|>1/n} \,\mathrm{d\lambda}(x)$
Dois-je justifier qu'elle est mesurable ?
Pour ce faire, est-il suffisant d'évaluer l'image réciproque des intervalles de la forme $]b,+\infty]$ avec $b>0$ ?
On peut aussi dire que l'application est continue comme application de $[0,1]$ dans la demi-droite réelle achevée.
Je considère maintenant la fonction $ f(x)=\sum _{n=1}^{\infty} \frac {1} {n^2|x-r_n|^a}$ sur $[0,1]$.
En espérant ne pas m'être trompé, j'ai montré que $\int_{0}^{1} f(x)d\lambda(x)\leq \frac{2^a}{1-a}.\frac{\pi^2}{6}<\infty$.
Je dois maintenant en déduire que $f(x)<\infty$ pour $\lambda$-presque tout $x$.
Est-ce que $f$ est mesurable ? Je ne suis pas sur. Une somme dénombrable de fonctions mesurables est-elle mesurable ?
Pour ton autre question, si une fonction mesurable est intégrable, elle est nécessairement finie presque partout (ça se montre très facilement par contraposée).
j'ai utilisé l'inégalité de Markov mais c'est plus court avec la contraposée.
Les fonctions $g_n(a)=\frac {1} {n^2|x-r_n|^a}$ sont continues (ici je ne comprends pas le presque sûrement. À cause des $x=r_n$ ? Mais est-ce qu'ils posent vraiment problème puisque qu'on arrive dans $[0,\infty]$ ?).
L'argument précédent de la limite simple pour les fonctions mesurables ne marche pas pour la continuité.
Donc à nouveau je ne sais pas si je peux en déduire que la série est continue.
les $r_n$ sont justes indiqués distincts dans $[0,1]$ et je veux effectivement la continuité de $a \rightarrow \sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{n^2|x-r_n|^a}$ sur $]0,1[$ pour $x$ fixé dans $[0,1]$.
Si $x\not \in \{{r_n,n\geq 1\}}$ j'obtiens que $\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{n^2|x-r_n|^a} < \frac{\pi^2}{6\inf_{n\geq 1}|x-r_n|}<\infty$.
Dans mon cours j'ai une proposition qui dit que si $(u_n)$ est une suite de fonctions continues sur un espace métrique $A$ telle que $\sum||u_n||_{\infty}<\infty$ alors $f(a)=\sum_{n\geq 0}u_n(a)$ est continue sur $A$.
Cela semble convenir.
J'ai du mal à fixer mes idées avec tous ces paramètres.
Les $r_n$ (tous distincts) et $x$ sont fixés dans [0,1], quelles sont les "chances" que je tombe sur des $r_n$ qui convergent vers $x$ ? Comment je mesure ça ?
Je te suggère de fixer $a_0\in ]0,1[$ et de montrer, par une méthode déjà utilisée, que pour presque tout $x$, $$
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1{n^2} \sup_{a\in[0,a_0]} |x-r_n|^{-a}<+\infty,
$$ puis d'en déduire que presque sûrement la fonction $a\mapsto \dots$ est continue sur $[0,a_0]$.
merci pour les indications. Sans certitude :
$\forall x\not\in\{r_n,n\geq1\}$, $a\longmapsto |x-r_n|^{-a}$ est continue et croissante du compact $[0,a_0]$ dans $[0,\infty]$ donc $\sup_{a\in [0,a_0]}|x-r_n|^{-a}=\frac{1}{n^2}|x-r_n|^{-a_0}$.
Ainsi $\int_{0}^{1}\sup_{a\in [0,a_0]}|x-r_n|^{-a}d\lambda(x)=\int_{0}^{1}|x-r_n|^{-a_0}d\lambda(x)\leq\frac{2^{a_0}}{1-a_0}=C_0$.
Donc $\int_{0}^{1}\sum_{n\geq 1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\sup_{a\in [0,a_0]}|x-r_n|^{-a}d\lambda(x)\leq\frac{\pi^2C_0.}{6}<\infty$ d'où $\sum_{n\geq 1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\sup_{a\in [0,a_0]}|x-r_n|^{-a}<\infty$ pour presque tout $x$.
On a donc, $\forall a\in[0,a_0]$, $\sum_{n\geq 1}^{\infty}\frac{1}{n^2}|x-r_n|^{-a}<\sum_{n\geq 1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\sup_{a\in [0,a_0]}|x-r_n|^{-a}<\infty$ et ainsi $\sum\frac{1}{n^2}|x-r_n|^{-a}$ converge normalement sur $[0,a_0]$ et la fonction $a\longmapsto\sum_{n\leq 1}^{\infty}\frac{1}{n^2}|x-r_n|^{-a}$ est continue sur $[0,a_0]$ pour presque tout $x$ et tout $a_0\in]0,1[$.
On en déduit qu'elle est continue sur $[0,1[$ presque surement.
Aussi, il serait bon de préciser comment tu passes de la continuité pour presque tout $x$ sur $[0,a_0]$ pour tout $a_0$ à la continuité sur $[0,1[$ presque sûrement.
Il y a une intervertion de $\forall$ et de presque sûr qui mérite quelques mots.
$\forall a_0\in]0,1[$, $g$ est continue sur $[0,a_0]$ pour presque tout $x$ à $g$ est continue sur $[0,1[$ pour presque tout $x$ ?
J'avais dans l'idée qu'il "suffisait" de faire tendre $a_0$ vers 1.
Je n'ai pas compris pour l'interversion du $\forall$ et du "presque sûr".
Ceci pourrait convenir ? :
Pour tout $a$ de $[0,1[$ je peux trouver un intervalle de la forme $[0,a_0]\subset[0,1[$ qui contient $a$, en prenant par exemple $a_0=\frac{a+1}{2}$ et donc $g$ est continue en $a$ pour presque tout $x$.
Donc $g$ est continue sur $[0,1[$ pour presque tout $x$.
Rien ne te dit a priori que tu peux prendre un négligeable $N$ commun à tous les $a_0 \in [0, 1[$ de sorte que, pour $x \in [0, 1] \setminus N$, $$a \mapsto \sum _{n=1}^{\infty} \frac {1} {n^2|x-r_n|^a}$$ est continue sur $[0, 1[$.
Dans ce cas je peux essayer une autre approche et dire, par exemple, que $[0,1[=\bigcup_{n\geq 1}[0,1-\frac{1}{n}]$ ? Ou considérer une suite de $a_n$ qui tendent vers 1, par exemple, la suite $a_n=1-1/n$ ?
En fait oui je ne vois pas bien le problème, j'aurai tendance à dire que $a$ et $x$ ne sont pas liés. Enfin pas pour les points de discontinuités. Je vois surtout un lien entre $x$ et $r_n$.
Soit $N_n$ l'ensemble négligeable des $x$ de $[0,1]$ pour lesquels $g$ n'est pas continue sur $[0,1-\frac{1}{n}]$.
Alors $N=\bigcup_{n\geq 1}N_n$ est négligeable.
$\forall a\in[0,1[,\forall x\not\in N, \exists n\in\mathbb{N}^*$ tel que $a\in[0,1-\frac{1}{n}]$ donc $g$ est continue en $a$ puisque $N_n\subset N$.
Donc $g$ est continue sur $[0,1[$ pour tout $x\not\in N$
Il me reste à démontrer qu'elle est aussi dérivable presque partout.
Je vais donc essayer de démontrer qu'en plus $\sum_{n\geq 1}^{\infty}g'_n(a)<\infty$.