Schwartz et $L^p$.
dans Analyse
Soit $f$ une fonction dans l'espace de Schwartz $\mathbb{S}$. Peut-on trouver une constante $c>0$ telle que : $|f|_2< c |f|_p$ pour $p>1$, où $|f|_p$ est la norme usuelle de l'espace $L^p$.
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Réponses
Après, la formalisation de cet argument me semble un peu technique (mais je zappe peut être un chemin "évident")
À la main on peut s'en sortir aussi pour $p>2$ avec une fonction valant 1 sur $[-r,r]$ ($r$ grand) à support compact et valant ce qu'il faut ailleurs. Pour $1<p<2$, idem avec $r$ petit.
si je note par $A_{m,p}=\{f\in \mathbb{S}; T(f)=mf\& f\in L^p\}$ avec $m\in\N$ et $p>1$. Alors on a:
1) $A_{m,2}\hookrightarrow A_{m,p}$ avec une injection continue.
2) $A_{m,p}=A_{m,2}$ (égalité ensembliste).
Ma question peut-on dire qu'on a $A_{m,p}\hookrightarrow A_{m,2}$ avec une injection continue?