Existence et continuité

ccapucine
ccapucine
dans Analyse
Bonjour,
j'ai la question suivante.

Calculer une solution continue pour le problème $$y'+y=g(x),\quad y(0)=0$$ avec $g(x)=2$ sur $[0,1]$ et $g(x)=0$ sur $]0,+\infty[$.

Ma première question est que la condition nécessaire pour qu'une edo admette au moins une solution est la continuité des coefficients et du second membre. Comme ici $g$ n'est pas continue, comment on peut justifier l'existence ?
Cordialement.

Réponses

  • Tryss
    Tryss
    1) ta fonction $g$ est mal définie
    2) si c'est une condition nécessaire, alors le problème est réglé

    Sinon, il n'est pas bien dur de résoudre l'équation sur les différents morceaux et de regarder si on peut recoller les morceaux.
  • gerard0
    gerard0
    Ccapucine,

    revois tes conditions sur g, tu lui donnes 2 valeurs entre 0 et 1, et on ne sait rien de ses valeurs pour les négatifs.

    Cordialement.
  • ccapucine
    ccapucine
    1- Qu'est ce qu'on change pour que $g$ devienne bien définie ? Pourquoi elle est ainsi mal définie ?
    2. Je ne sais pas a vrai dire si la continuité du second membre est une condition nécessaire ou bien suffisante pour l'existence d'une solution. Dans le cours ce n'est pas précisé. Mais vu cet exo j'imagine que la condition est suffisante. Dans ce cas là est-ce qu'il existe une condition nécessaire pour l'existence d'une edo d'ordre 1 de la forme $y'= a(x)y +b(x)$ ?

    @gerard: l'exo est posé comme ça. Peut être qu'il y a une coquille et l'edo est définie pour tout $x \geq 0$ ?

    Cordialement
  • AD
    AD
    ccapucine a écrit:
    avec $g(x)=2$ sur $[0,1]$ et $g(x)=0$ sur $]0,+\infty[$.

    $g(\frac 1 2)$ vaut-il $0$ ou vaut-il $2$ ?
    AD
  • ccapucine
    ccapucine
    Merci AD. Si on définit $g$ de la manière suivante:
    $g(x)= 2$ sur $[0,1]$ et $g(x)=0$ sur $]-\infty,0[$. Il me semble que $g$ est ainsi bien défini sur $]-\infty,1]$. Donc on résout l'edo sur $]-\infty,1]$.
    Est-ce que la continuité du second membre d'une edo de premier ordre est nécessaire ou suffisante pour l'existence d'au moins une solutions? Est-ce qu'il y a des conditions nécessaires à l'existence d'au moins une solutions?
  • ccapucine
    ccapucine
    En fait ça ne marche pas non plus. Que me suggérez vous de prendre comme fonction g discontinue pour avoir un problème bien posé?
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