Inégalité $|\sqrt y-\sqrt x|\leq\sqrt{|y-x|}$

Démarrelesprobas · December 2018

Bonjour,

Comment démontrer simplement cette inégalité ? J'ai pensé à élever au carré, à utiliser le conjugué...

C'est pour $(x,y)\in (\mathbf R_+^*)^2$.

gerard0 · December 2018

Bonjour.

Quitte à échanger les rôles de x et y, on peut supposer $x\le y$, ce qui élimine les valeurs absolues. Puis on élève au carré et on simplifie, pour trouver une égalité équivalente vraie.

Cordialement.

Démarrelesprobas · December 2018

En effet, merci.

marsup · December 2018

Je crois que si $f$ est concave, alors, pour $0\le a\le b$ on a :

$f(b) - f(a) \le f(b-a) - f(0)$,

car la fonction $t\mapsto f(a+t)-f(t)$ est décroissante.

Inégalité $|\sqrt y-\sqrt x|\leq\sqrt{|y-x|}$

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