Calcul différentiel fonction à deux variables

Bonjour,
Pour mes révisions de contrôles terminaux, je m'entraîne sur des sujets des années précédentes. Il y a un exercice qui me pose problème en particulier : l'exercice 1.

Pour la continuité, j'ai trouvé que la fonction n'est pas continue pour xy différent de 0 car en passant par la forme polaire je me trouvais avec du tan(teta)* exp(-cos^2(teta)/sin^2(teta)).
Mais je n'arrive pas pour la suite de l'exercice à montrer en quels points les dérivées partielles existent. J'ai essayé en 0 mais je n'arrive pas à majorer mes dérivées partielles.
Pouvez-vous m'éclairer pour l'exercice ?
Cordialement,
Yanis