$f^{-1}$ globalement analytique

à mon avis mon premier $\bullet$ marche : soit on arrive à étendre $f^{-1}$ à des ouverts simplements connexes de plus en plus grands jusqu'à atteindre tout $V$,

soit on reste bloqué à $f^{-1}$ définie sur $W$, et pour ça le seul moyen c'est qu'il existe un point $p \in V, p \in \partial W$ tel que pour tout petit voisinage $\{ |s-p| < \epsilon\}$ il n'existe aucune extension de $f^{-1}|_{W \setminus \{ |s-p| < \epsilon\}}$ sur un ouvert simplement connexe $A \bigcup (W \setminus \{ |s-p| < \epsilon\})$ contenant un $\{ |s-p| < \delta\}$ (et il faut aussi demander que la partie ajoutée $A$ soit contenue dans un $ \{ |s-p| < \beta\}$ pour interdire de "faire le tour" et aller chercher une autre valeur pour $f^{-1}(p)$).

Supposer que $W \cup \partial W$ contient un voisinage de $p$ peut rendre l'argument plus simple.

Typiquement $f(z) = z^2,f^{-1}(s) = s^{1/2}, U = V = \mathbb{C}$ et $W= \mathbb{C} \setminus [0,\infty)$, alors on peut bouger la coupure $[0,\infty)$ mais on ne couvrira jamais le point $p=0$.

Sous ces hypothèses $p = f(q)$ avec $q \in U$ et $f'(q) = 0$.


@Lupulus : ça serait quoi ton approche topologique ?

Tu le reformules sans l'analyticité. Et en quoi ça devrait aider ?



A priori mon argument c'est donc celui-ci :

soit on arrive à étendre $f^{-1}$ à des ouverts simplement connexes de plus en plus grands jusqu'à atteindre tout $V$,

soit à un moment on reste bloqué à $f^{-1}|_W$ avec $W \subset V$ simplement connexe qu'on ne peut plus agrandir. Il existe alors un $p \in \partial W$ tel qu'un voisinage de $p$ est contenu dans $W \bigcup \partial W$ (supposer qu'un tel $p$ n'existe pas et montrer qu'il existe un $B$ tel que $B \cup W$ est simplement connexe et $f^{-1}|_{B \cup W}$ est analytique donc $W$ n'est pas maximal)

Et donc la définition locale de $f^{-1}$ n'est pas valide en $p$ ce qui contredit que $f'(q) \ne 0, q = f^{-1}(p) = \lim_{s \to p} f^{-1}(p)$.

Cet argument ne dépend pas de l'analyticité, juste de l'existence locale de $f^{-1}$ conséquence que $\| \nabla f\|^2 $ ne s'annule pas. Dans mon argument il suffit de remplacer "analytique" par continue ou $C^1$.
Si c'est possible de faire marcher le second $\bullet$ de mon premier message alors ça devrait donner un moyen plus constructif de partir de $f$ non injective pour trouver un $q$ tel que $f'(q) = 0$

??? Tu n'as donné aucune preuve. Donc encore une fois c'est quoi ta preuve ?

Et l'analyticité rend les choses plus simples parce que $f^{-1}(s) = \frac{1}{2i\pi} \int_{\partial \Omega} \frac{z f'(z)}{f(z)-s}dz$ est valide pour tout $s \in f(\Omega)$ avec $\Omega$ un ouvert simplement connexe où $f$ est analytique et bijective [small](analytique sur un ouvert légèrement plus grand)[/small],

Donc dans mon [small](début de)[/small] preuve http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1747364,1747510#msg-1747510 si le point $p$ n'existe pas et que $W \cup \partial W$ est plus petit que $U \cup \partial U$ il suffit de trouver des ouverts simplement connexes $A_j$ tels que $W \cup B = f(\bigcup_j A_j)$ et $f$ est injective sur $A_j$ pour avoir directement $f^{-1}|_{f(A_j)},f^{-1}|_{W \cup B}$ et que $W$ n'est pas maximal.

D'où qu'avec le $W$ maximal alors $W \cup \partial W = U \cup \partial U$ et soit $W = U$, soit par simple connexité il existe un point $p \in \partial W$ dont un voisinage est contenu dans $W \cup \partial W$

Un revêtement connexe d'un ensemble simplement connexe est trivial

C'est exactement ce que j'essaye de démontrer. Tu as juste changé les termes.

Peut-être que dans le cas analytique avec la bonne intégrale de contour on peut le montrer directement (que si $f$ n'est pas injective alors $f'$ a un zéro) et que dans les autres cas en considérant le bon groupe d'homologie ou d'homotopie ça se voit tout de suite,

mais comme tu le vois dans mes messages, quand on n'a pas cet argument magique ça n'a rien de trivial.

Donc, quel est ton argument magique ?

Bon en clair "débrouille-toi tout seul".

Soit $f : U \to V$ un revêtement avec $V$ simplement connexe ($f$ est surjective, continue et localement d'inverse défini et continu) et $U$ connexe.

Soit $\gamma_0(t), t \in [0,1]$ une courbe fermée $q \to q \subset V$. Comme $V$ est simplement connexe on peut rétracter $\gamma_0$ au point $q$. On note $\gamma_s , s \in [0,1]$ cette rétractation (donc pour chaque $s$, $\gamma_s(t),t\in [0,1]$ est une courbe fermée $q \to q$ dans $V$, et $\gamma_s(t)$ est continu en $s$, et $\gamma_1(t) = q$).

On prend un point $p \in U$ tel que $f(p) = q$.

Comme $f$ est localement bijective, pour chaque $s$, il existe une unique courbe $\Gamma_s(t), t \in [0,1]$ dans $U$ telle que $\Gamma_s(0) = p$ et $f \circ \Gamma_s(t) = \gamma_s(t)$.

Pour le moment on ne sait pas si les $\Gamma_s$ sont des courbes fermées, juste que ce sont des courbes $p \to p_2$ avec $f(p_2) = f(p)$.

Mais $\Gamma_0 \to \Gamma_1$ est une rétractation en un point. Donc $p_2= \Gamma_1(1) = \Gamma_0(1) = p$.

Et donc chaque point $q \in V$ a un seul antécédent et $f$ est globalement bijective et d'inverse continu (sinon il suffirait de prendre $\gamma_0$ l'image d'une courbe $\Gamma_0 : P \to P_2, P \ne P_2 ,f(P) = f(P_2)$ pour avoir une contradiction)

ça ressemble bien à l'argument magique que je cherchais.