Norme sur $H^1_0$

Bonsoir

Dans le cours que je suis il y a deux définitions pour la norme sur $H^1_0$ (espace de Sobolev d'ordre 1 sur $]a;b[$ dont les fonctions s’annulent en $a$ et en $b$.
La première est celle hérité de $H^1$ $u \mapsto \sqrt{\| u'\|_{L^2}^2+\| u\|_{L^2}^2}$
et l'autre est la norme $L^2$ de $u'$; $u \mapsto \| u'\|_{L^2}$

Les deux (ou plutôt les produits scalaires dont elles dérivent) font de $H^1_0$ un espace de Hilbert.
Je me demande donc dans quels cas utilise-t-on une norme plutôt qu'une autre. Quel est l’intérêt de la seconde norme ?
Surtout que dans certain exercices la continuité d'une forme bilinéaire est évidente avec la première norme mais demande de faire appel à l'inégalité de Poincaré si on utilise la seconde.
Enfin quelle est la plus commune ? Car il y ambiguïté quand on parle de norme sur $H^1_0$ sans plus de précision.

Merci d'avance.