dxdy=rdrda

Dans une vidéo que je n'arrive pas à retrouver(*), où il parle de mathématiques expérimentales", Arnold dit que Leibniz a d'abord cru que la différentiation d'un produit suivait la règle $d(uv)=dudv$ (**). Il dit en substance que [large]L[/large]eibniz n'aurait peut-être pas fait cette erreur s'il avait eu une approche plus expérimentale. Ici l'erreur n'est pas la même, mais le conseil est de regarder géométriquement ce qu'il se passe en faisant des dessins. Quand on intègre en cartésien on considère des petits carrés d'aire $dxdy$ délimités par les quatre points de coordonnées $(x,y)$, $(x+dx,y)$, $(x,y+dy)$, $(x+dx,y+dy)$. Que peut-on faire en polaire ?

(*) Si quelqu'un connaît la référence de la vidéo, je suis preneur.
(**) Voir la discussion sur Mathoverflow : https://mathoverflow.net/questions/181422/did-leibniz-really-get-the-leibniz-rule-wrong

[En toute occurrences, Gottfried Leibniz (1646-1716) prend une majuscule. AD]

Bonjour,

Quand on tient à calculer en posant le calcul sur une ligne plutôt qu'avec des matrices...
on pose $\displaystyle x=r \cos a, y=r \sin a, r>0, a \in R$,
on calcule $\displaystyle dx=\cos a dr - r \sin a da, dy = \sin a dr + r \cos a da$,
et alors $\displaystyle dx\wedge dy = (\cos a dr - r \sin a da) \wedge (\sin a dr + r \cos a da) = r dr \wedge da$ (on ne retient que l'ordre $1$ en $dr$ et en $da$ et bien sûr $\displaystyle da \wedge dr = -dr \wedge da$)
et on conclut, par définition, $dxdy=|dx \wedge dy| = |r dr \wedge da|=r |dr \wedge da|=r dr da.$