Formule de Stokes

Bonjour,

Je suis physicien, alors vérifie et traduit. Par ailleurs, ta formule est fausse car il manque une donnée importante : la courbe est parcourue dans le sens direct càd trigonométrique.

Puisque la courbe (non vide) $\displaystyle \gamma$ est fermée il existe un intérieur et un extérieur. On choisit un point $O$ à l'intérieur. On note $M$ un point le long de la courbe. Et on note $\displaystyle M+dM$ un point le long de la courbe pour un mouvement infinitésimal du point $M$ (quand le paramètre $t$ varie de $t$ à $\displaystyle t+dt$). L'existence de ce point est assurée sur chaque morceau car la courbe est $C^1$ par morceau. L'aire algébrique élémentaire $\displaystyle dA$ du triangle $\displaystyle OM(M+dM)$ est donnée par la formule immédiate (base fois hauteur disisée par deux) $\displaystyle {1 \over 2} \bar{\vec{OM} \wedge d\vec{OM}}. $ L'aire de la surface prise dans la courbe fermée est donc $\displaystyle A = \int_D dA ={1 \over 2} \oint_\gamma \bar{\vec{OM} \wedge d\vec{OM}}$ avec $D$ le domaine du plan complexe pris dans la courbe fermée $\gamma.$ Il faut séparer l'intégration sur chaque morceau puis on recolle par la relation de Chasles.
Dans le sens direct, on a $\displaystyle A ={1 \over 2} \oint_\gamma {\vec{OM} \wedge d\vec{OM}}>0.$
Le paramétrage de la courbe $\gamma$ et un repère avec $O$ pour origine donnent : $\displaystyle \vec{OM}(t) = x(t) \vec{e_x}+ y(t)\vec{e_y}$ et $\displaystyle d\vec{OM}(t) = x'(t) dt \vec{e_x}+ y'(t)dt \vec{e_y}$ et donc par calcul simple : $\displaystyle \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} x'(t)dt \\ y'(t)dt \end{pmatrix} =(x(t) y'(t) - x'(t) y(t) )dt$, $\displaystyle A = {1 \over 2} \int_{a}^{b} (x(t) y'(t) - x'(t) y(t)) dt.$

Reste à montrer que l'aire est indépendante du point $O$ choisi... par $\displaystyle \vec{OM} = \vec{OP} + \vec{PM} $, $\displaystyle d\vec{OM} = d\vec{PM}=d\vec{M}$ et enfin $\displaystyle \oint_{\gamma} d\vec{M}=\vec{0}.$