Pour moi la suite est forcément plus petite que zéro mais je n'arrive pas à le prouver. Le problème étant que je ne peux pas prendre un $\varepsilon=0.$
Bonjour
Une suite croissante et convergente vers $l$ a tous ses termes plus petits que $l$. Sinon, il existerait un $n_0 \in \N$ tel que :
$u_{n_0} >l$, alors $]2u_{n_0} -l,u_{n_0}[$ contiendrait tous les termes de la suite à partir d’un certain rang $N \in \N$, c’est-à-dire $u_n < u_{n_0}$ dès que $n\geq N$. Mais la suite étant croissante, pour tout $n \geq \max (N,n_0)$, on a $u_n \geq u_{n_0}$, contradiction.
Ça manque un peu de quantification Lupulus... S'il existe $n$ tel que $u_n > a$ alors la limite $u$ vérifie $u \geq a$ en utilisant la croissance et la définition de la limite.
Réponses
Une suite croissante et convergente vers $l$ a tous ses termes plus petits que $l$. Sinon, il existerait un $n_0 \in \N$ tel que :
$u_{n_0} >l$, alors $]2u_{n_0} -l,u_{n_0}[$ contiendrait tous les termes de la suite à partir d’un certain rang $N \in \N$, c’est-à-dire $u_n < u_{n_0}$ dès que $n\geq N$. Mais la suite étant croissante, pour tout $n \geq \max (N,n_0)$, on a $u_n \geq u_{n_0}$, contradiction.