Sous-ensemble invariant
Soit $ E $ un espace Banach, et $ T: E \rightarrow E $ une fonction bornée continue.
Soit $ x_0 \in E $ et $ x_n = T (x_{n-1})$, $ C = \overline{\mathrm{conv}} (x_0, x_1, \ldots, x_n, \ldots) $.
Est-ce que $ U $ est invariant sous l'opérateur $ T $, c'est-à-dire $ T (U) \subset U $ ?
Je ne pense pas que c'est vrai, mais je n'ai pas de justification.
Soit $ x_0 \in E $ et $ x_n = T (x_{n-1})$, $ C = \overline{\mathrm{conv}} (x_0, x_1, \ldots, x_n, \ldots) $.
Est-ce que $ U $ est invariant sous l'opérateur $ T $, c'est-à-dire $ T (U) \subset U $ ?
Je ne pense pas que c'est vrai, mais je n'ai pas de justification.
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Réponses
Tu veux probablement dire que $T$ est un opérateur borné de $E$ dans $E$, c'est-à-dire que $T$ est linéaire continue.
Dans ce cas tu penses mal, $C$ est invariant pour $T$. La démonstration n'utilise que les définitions, je te laisse démarrer.
Par contre, c'est assez bizarre comme question car $C$ n'est pas un sous-espace vectoriel de $E$, et en général on s'intéresse plutôt aux ensembles invariants qui sont des sous-espaces vectoriels.