Intégrale généralisée

Bonjour,

Pour que $\int_0^\infty g(t)dt$ existe avec $g$ positive ne faut-il pas que $g$ tend vers zéro à l’infini ?

Les fonctions $f$ et $F$ sont positives.
Ces deux intégrales peuvent converger, donc être finies, ou bien diverger et valoir $+\infty$.
On a de plus : $$
\forall A \ge 0 : \qquad
\def\ud{\mathrm{d}}
\def\ch{\cosh}
\def\sh{\sinh}
0 \le \frac{F(A)}{\ch(A)} =
\int_{0}^{A} \frac{f(t)}{\ch(t)} \ud{t}
-
\int_{0}^{A} \frac{F(t)\cdot\sh(t)}{\ch^2(t)} \ud{t}

$$ Trois cas.

$(\star) \dfrac{F(A)}{\ch(A)} \to \ell \ge 0$,
dans ce cas les deux sont de même nature.
De plus si $\ell\neq 0$, la fonction $\dfrac{F(t)\cdot\sh(t)}{\ch^2(t)}$ peut-elle être intégrable ?

$(\star\star) \dfrac{F(A)}{\ch(A)}\to+\infty$,
Dans ce cas, la fonction $\dfrac{F(t)\cdot\sh(t)}{\ch^2(t)}$ peut-elle être intégrable ?
Combien doit alors valoir $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{f(t)}{\ch(t)} \ud{t}$ ?

$(\star\star\star) \dfrac{F(A)}{\ch(A)}$ n'a pas de limite : peut-on avoir autre chose que la forme indéterminée $+\infty-\infty$ ?

YvesM

la fonction qui, pour tout entier n vaut 1 entre $n$ et $n+\frac 1 {n^2}$ et 0 ailleurs. On fabrique facilement des versions continues, voire lisses.

Cordialement.

En revanche, si $f$ est intégrable sur $\mathbb R_{+}$ et possède une limite $l$ en $+\infty$, alors $l=0$ nécessairement.

Pour reprendre ce qu’a dit gerard0, on peut aussi construire une fonction affine par morceaux non bornée avec des pics de hauteur $n$ entre $n - 1/n^3$ et $n + 1/n^3$, de manière à avoir une fonction non bornée et pourtant intégrable (on majore l’intégrale de $0$ à $n$ par la somme partielle des $1/k^2$, à un facteur multiplicatif près).
Et si on veut aller plus loin, on peut même construire une fonction de classe infini, non bornée et intégrable sur $\mathbb R_{+}$ !