Limites

naima12 · December 2018

Bonsoir

Soit $f:D\to \mathbb{R}$ une application uniformément continue sur une partie $D\subset \mathbb{R}$.
Soient $(x_n)_n$ et $(y_n)_n$ deux suites d'éléments de $D$ telles que $\lim_{n\to +\infty}(x_n-y_n)=0$
Je veux montrer que $\lim_{n\to +\infty}\big(f(x_n)-f(y_n)\big)=0.$

Merci de m'aider.

marsup · December 2018

Pour $\epsilon>0$, il existe $\delta>0$ tel que $\forall x,y\in D$, on a : $|x-y|\le\delta \Longrightarrow |f(x)-f(y)|\le\epsilon$. (c'est bien ça ?)

Cette chose s'applique pour $x=x_n,y=y_n$, l'inégalité à gauche étant vérifiée dès que $n\ge N$ assez grand.