Croissances comparées

jp59 · December 2018

Bonjour

Peut-on généraliser une croissance comparée (ou même toutes) ?
Pour être clair : soit f et g 2 fonctions qui tendent vers + l’infini en + l’infini peut-on affirmer que exp(f)/g tend vers l’infini en + l’inifini ?
J’ai vérifié avec qq quelques cas particuliers, ça me semble vrai, mais en même temps je me dis que c’est trop gros pour ne l’avoir jamais vu nul part...

Merci d’avance.

Math Coss · December 2018

C'est vraiment très gros ! Penses-tu que l'exponentielle d'une fonction $f$ fixée est beaucoup plus grande que n'importe quelle fonction $g$ qui tend vers l'infini ? Ça ne tient pas debout.

jp59 · December 2018

Oui en fait je pensais initialement à des polynômes...je me suis un peu emporté
Pour les polynômes ça me semble crédible par contre

jp59 · December 2018

Je précise est-ce que pour tous polynômes P et Q dont les coefficients dominants sont positifs (qui tendent vers + l’infini en + l’infini) on a exp(P)/Q qui tend vers + l’infini en + l’infini ?

Math Coss · December 2018

Pour des polynômes, c'est plus ou moins évident : au voisinage de l'infini, $x^n=o(\exp(x))$ pour tout $n$, par exemple parce que $\exp(x)\ge\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}$ pour $x\ge0$.

jp59 · December 2018

Je venais de me rendre compte que j’ai dit une bêtise.
Merci pour cette indication

Math Coss · December 2018

Je n'appellerais pas « bêtise » une affirmation juste, même si elle n'est pas très intéressante.

jp59 · December 2018

Je pense que votre remarque donne plus l’impression qu’il faut étendre « par linéarité » plutôt qu’appliquer brutalement comme ça à un polynôme ?

Math Coss · December 2018

Éventuellement : si $x^k=o(\exp x)$ pour tout $k$, alors un polynôme, qui est une somme finie de fonctions négligeables devant l'exponentielle, l'est aussi.

Sinon, une idée simple pour comparer l'exponentielle d'un polynôme à un polynôme, c'est de factoriser les termes de plus haut degré : pour $a_db_e\ne0$, \[\sum_{k=0}^da_kx^k=a_dx^d\sum_{k=0}^{d}\frac{a_k}{a_d}x^{k-d}\sim a_dx^d.\] D'autre part, \[\exp\sum_{k=0}^eb_jx^j=\exp \left(b_ex^e\sum_{j=0}^{e}\frac{b_j}{b_e}x^{e-j}\right)\] et le quotient $\exp\left(\sum_{k=0}^eb_jx^j\right)/\exp(b_ex^e)$ est borné par deux constantes non nulles au voisinage de l'infini.