Croissances comparées
Bonjour
Peut-on généraliser une croissance comparée (ou même toutes) ?
Pour être clair : soit f et g 2 fonctions qui tendent vers + l’infini en + l’infini peut-on affirmer que exp(f)/g tend vers l’infini en + l’inifini ?
J’ai vérifié avec qq quelques cas particuliers, ça me semble vrai, mais en même temps je me dis que c’est trop gros pour ne l’avoir jamais vu nul part...
Merci d’avance.
Peut-on généraliser une croissance comparée (ou même toutes) ?
Pour être clair : soit f et g 2 fonctions qui tendent vers + l’infini en + l’infini peut-on affirmer que exp(f)/g tend vers l’infini en + l’inifini ?
J’ai vérifié avec qq quelques cas particuliers, ça me semble vrai, mais en même temps je me dis que c’est trop gros pour ne l’avoir jamais vu nul part...
Merci d’avance.
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Réponses
Pour les polynômes ça me semble crédible par contre
Merci pour cette indication
Sinon, une idée simple pour comparer l'exponentielle d'un polynôme à un polynôme, c'est de factoriser les termes de plus haut degré : pour $a_db_e\ne0$, \[\sum_{k=0}^da_kx^k=a_dx^d\sum_{k=0}^{d}\frac{a_k}{a_d}x^{k-d}\sim a_dx^d.\] D'autre part, \[\exp\sum_{k=0}^eb_jx^j=\exp \left(b_ex^e\sum_{j=0}^{e}\frac{b_j}{b_e}x^{e-j}\right)\] et le quotient $\exp\left(\sum_{k=0}^eb_jx^j\right)/\exp(b_ex^e)$ est borné par deux constantes non nulles au voisinage de l'infini.