À propos de l'équicontinuité

PolVano · December 2018

Bonsoir
J'aimerais saisir la notion d'équicontinuité qu'on retrouve souvent dans l'analyse fonctionnelle. On dit qu'une partie $A$ d'un espace de fonctions continues sur un espace topologique $X$ à valeurs dans un espace métrique $(E,d)$ qu'elle est équicontinue si pour tout $x \in X$, pour tout $\varepsilon >0$, il existe un voisinage $V$ de $x$ tel que pour toute fonction $f \in A$ et pour tout $y \in V$ on a $d\big(f(x),f(y)\big)<\varepsilon$.

Les questions que je me pose sont les suivantes.
Je comprends que l'équicontinuité rend le voisinage uniforme pour toutes les fonctions de $A$, mais à part cela en quoi une partie équicontinue est plus intéressante qu'une partie dont les fonctions sont seulement continues ? Je n'arrive pas à bien saisir cette notion...
Merci d'avance,

Foys · December 2018

Soit $(K,\tau)$ un espace compact, $(E,d)$ un espace métrique (uniforme suffirait mais je ne sais pas si tu connais: c'est plus général et l'énoncé et sa preuve sont des généralisaations directes).
Soit $F$ un enesmble de fonctions continues de $K$ dans $E$.

si $x\in K$, $F_x$ désigne dans ce qui suit l'ensemble $\{f(x) \mid f \in F\}$.

Il y a équivalence entre:
(i) $F$ est équicontinu et pour tout $x\in K$, $F_x$ est contenu dans une partie compacte de $E$.
(ii) $F$ est contenu dans une partie de $C^0(K,E)$ compacte pour la topologie de la convergence uniforme (théorème d'Ascoli).

L'équicontinuité est liée à la compacité pour la topologie de la convergence uniforme.

Foys · December 2018

Noter que comme $(E,d)$ (dans l'énoncé ci-dessus) est métrique, (ii) revient à dire que de toute suite de $F$ on peut extraire une suite uniformément convergente (dont la limite n'est pas forcément dans $F$ sauf hypothèse supplémentaire).

Poirot · December 2018

Si tu ne vois pas l'utilité de l'équicontinuité, regarde du côté du théorème d'Ascoli ;-)

PolVano · December 2018

Bonjour,

Je vous remercie pour vos réponse. Ma pensée s'éclaire un peu plus toutefois, je ne comprends pas le lien entre (E,d) un espace métrique et de toute suite de F on peut en extraire une sous-suite uniformément convergente.Parce que si F est incluse dans une partie compacte, alors une suite de F est une suite de cette partie compacte, elle admet donc une sous-suite convergente dans cette partie compacte non? Je ne vois pas en quoi le fait que l'espace d'arrivée soit métrique a servi ici.

Sinon je ne vois toujours pas le lien entre l'équicontinuité et la compacité pour la topologie uniforme. J'ai jeté un coup d'oeil à la démonstration du théorème d'Ascoli et l'équicontinuité ne m'a paru qu'un "pont" pour pouvoir conclure que F est contenue dans une partie compacte. J'ajoute que les démonstrations que j'ai trouvé traitent de K un espace métrique compact et donc séparable. Je pense que c'est pour cela que je ne vois pas réellement l'intérêt de l'équicontinuité.

J'espère que vous pourrez me guider encore plus dans ce sujet épineux.

Merci d'avance.

Poirot · December 2018

Relis la démo, ce n'est pas juste un pont, c'est un argument essentiel ! Pour le fait que l'image doit être métrique, c'est pour définir la distance uniforme sur l'espace des fonctions continues.

Je rappelle une version du théorème d'Ascoli : soit $(E, d)$ un espace métrique et $X$ un espace métrique compact. Une partie $T$ de $\mathcal C^0(X, E)$ est relativement compacte dans $\mathcal C^0(X, E)$ munie de la distance uniforme, si et seulement si pour tout $x \in X, \{f(x) \mid f \in T\}$ est relativement compact dans $E$ et $T$ est équicontinue.

Foys · December 2018

Poirot a écrit:

Je rappelle une version du théorème d'Ascoli : soit $(E,d)$ un espace métrique et $X$ un espace métrique compact. Une partie de $C^0(X,E)$, muni de la distance uniforme, est relativement compacte si et seulement si elle est bornée et équicontinue.

Poirot, on a vraiment besoin que les $\{f(x) \mid f \in T\}$ soient relativement compacts dans $E$ pour avoir $T$ relativement compact...

Pour prendre un exemple: si $E$ est non compact mais muni d'une métrique bornée, l'ensemble de toutes les fonctions constantes de $K$ dans $E$ est manifestement équicontinu mais non relativement compact dans $C^0(K,E)$.

Bon de toute façon le théorème est presque toujours destiné à être appliqué à des fonctions à valeurs réelles ou complexes où il y a équivalence entre borné et relativement compact donc tout y est plus simple.

Foys · December 2018

PolVano a écrit:

Je ne vois pas en quoi le fait que l'espace d'arrivée soit métrique a servi ici.

C'est pour faire le lien avec les suites: si un espace topologique n'est pas métrisable il n'y a pas d'équivalence en général entre $E$ compact et "de toute suite de $E$ on peut extraire une suite convergente".

Poirot · December 2018

@Foys : oups, oui tu as raison, j'ai énoncé cette version avec $\mathbb R$ comme espace d'arrivée, d'où la condition "bornée", qui coïncide dans ce cas avec $\{f(x) \mid f \in T\}$ est relativement compact dans $E$, je corrige.

PolVano · December 2018

Ce théorème d'Ascoli m'a chamboulé le cerveau.
En fait quand je regarde ce théorème, je n'arrive pas à interpréter chaque hypothèse ce qu'elle signifie topologiquement, je veux dire je n'arrive pas à en voir le fond. Pour cela j'en appelle à votre savoir pour me fournir des contre-exemples dans le cas où on enleve chaque hypothèse. Par exemple j'ai compris d'arpès cette discussion :

Foys écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1748226,1748388#msg-1748388
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]

Que l'hypothèse de $\{f(x) \mid f \in T\}$ soient relativement compacts dans $E$ qu'elle sert à borner $T$. Car sinon, on peut prendre une suite qui à chaque fois associe une constante différente (je pense que dans ce cas $E$ doit être au moins dénombrable non ? ).

Si on enlève l'équicontinuité qu'est-ce qu'il se passerait au niveau de $T$ ?

J'espère que vous pourrez m'aider afin de mieux comprendre le théorème d'Ascoli et l'équicontinuité.
Merci d'avance.

Poirot · December 2018

Tu auras du mal à extraire une sous-suite convergente de la famille $(x \mapsto \sin(nx))_{n \in \mathbb N}$, définies sur le compact $[0, 2\pi]$ par exemple. Le problème est que les fluctuations locales ne peuvent pas être contrôlées, l'équicontinuité est en défaut en chaque point !

PolVano · December 2018

Bonjour,

Je vois donc l'hypothèse de la relative compacité des ensembles $\{f(x)\mid f\in T\}$ veut dire que les fluctuations globales sont contrôlées, et que l'hypothèse de l'équicontinuite veut dire qu'on contrôle les fluctuations locales (maintenant que vous me l'avez dit cela m'est plus clair, on peut aisément contrôler les variations d'une limite uniforme d'une suite de fonctions équicontinues ).
D'après votre discussion, je pense que vous avez évoqué une version plus forte du théorème d'Ascoli (les $\{f(x)\mid f\in T\}$ sont bornées, et je pense que c'est dans le cas où l'espace d'arrivée est un espace vectoriel de dimension finie), je pense qu'on comprend mieux la relative compacité avec cette simplification de bornée.

Tableau Blanc · December 2018

Bonjour,

J'arrive un peu en retard, mais pour donner d'autres applications que le théorème d'Ascoli, on peut montrer les propriétés suivantes :

Soit $X$ et $Y$ deux espaces métriques et $A$ une partie équicontinue de $C(E,F)$.

- Si $(f_n)$ est une suite de fonctions de $A$ qui converge simplement vers une fonction $f$, alors $f$ est continue.

-Si $X$ est compact, alors une suite $(f_n)$ de $A$ converge uniformément vers une fonction $f$ si et seulement si elle converge simplement vers $f$.

PolVano · December 2018

Bonjour,

Je vous remercie pour ces applications de l'équicontinuité.

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