Suite dans $L^2(\R^2)$.

Considérons l'opérateur$T=-\frac{d}{dx^2}-(x^2)$.

Comment je peux construire une suite $(u_n)\in D(T)=\{u\in L^2(\R); Tu\in L^2(\R)\}$ telle que $\|u_n\|=\sqrt{\int_{\R}|u(x)|^2}dx=1,\quad u_n\to 0$ faiblement, et $\lim_n \|Tu_n\|=0.$

Remarque: Une telle séquence existe par un critère de Weyl.

Merci pour toute suggestion, je ferais moi même les calculs.

[Restons dans la discussion que tu avais ouverte pour poser la même question. Poirot]

je voudrais juste construire une suite mais malheureusement, je crois que c'est très difficile

Le spectre de mon opérateur (qui est auto-adjoint) est essentiel et vaut $\R$ donc d'après le critère de Weyl (pour les opérateurs auto-adjoints) une telle suite existe , j'ai essayé d'en construire une mais sans résultat

@BobbyJoe , si tu as des suggestions, je ferai moi même les calculs. Merci

On a pu construire $\int^\infty_0\Big(\partial^2_r f_j+\frac{1}{r}\partial_r f_j+r^2f_j\Big)^2rdr\to 0$ et

$\int_{\Bbb{R^+}}|f_j(r)|^2 rdr=1$ avec $j\in\N$ .

On pose $f_n(x)=c_nK(\frac{x}{n})\sin(\frac{x}{n})$ la constante $c_n$ étant choisie de sorte que $||f_n||=1$ et $K$ une fonction cut-off.

Par un calcul $c^2_n=\frac{1}{n||K(.)\sin(.)||_2}$. On a:

$ f''_n(x)+x^2f_n(x)=\frac{c_n}{n^2}\{\Big(-K(\frac{x}{n})\sin(\frac{x}{n})+2K'(\frac{x}{n})\cos(\frac{x}{n}) +K''(\frac{x}{n})\sin(\frac{x}{n}) \Big)+n^2x^2K(\frac{x}{n})\sin(\frac{x}{n})\}$.

En suivant ton indication, alors il y a un problème pour la fonction $h_n(x)=c_nx^2K(\frac{x}{n})\sin(\frac{x}{n})$

Cette quantité $\frac{c_n}{n^2}\{\Big(-K(\frac{x}{n})\sin(\frac{x}{n})+2K'(\frac{x}{n})\cos(\frac{x}{n}) +K''(\frac{x}{n})\sin(\frac{x}{n}) \Big)$ tend vers 0 pour norme $||.||_2$.

Par contre $||h_n||_2=c_n\sqrt{n^5\int^{\frac{1}{n}+\epsilon}_{\frac{1}{n}-\epsilon} t^4|\sin(t)K(t)|^2 dt }$

donc elle ne va pas tendre vers 0 pour la norme $||.||_2$.

J'ai déjà utilisé la technique que tu m'as proposée, une solution de $y''=-x^2 y$ est donnée par $y(t)=\sqrt{t} BesselJ(\frac{1}{4},\frac{t^2}{2})$ mais ça ne va pas marcher...

Corto&@BobbyJoe,

La source de ma question était de montrer qu'il n'existe aucune suite $(f_n)\in D(L)\cap D(R)$ (ou bien dans $C^\infty_0(\R^2)$) où

$L=-\Delta_{\Bbb{R}^2}-(x^2+y^2)$ et $R=x\partial_y -y\partial_x$ telle que :


1]$||f_n||=1$ pour tout $n\in\N$.
2] $\lim_n \|u_n\|=\lim_n \|Ru_n\|=0$.

Il me semble qu'une telle suite vérifiant le 1 et 2 n'existe pas , cependant je n'arrive plus à le prouver.




Remarque:$D(T)=\{u\in L^2(\Bbb{R}^2)\mid Tu\in L^2(\Bbb{R}^2)\}$ avec $||u||^2_2=\int_{\Bbb{R}^2}u(x,y)\overline{u(x,y)} dxdy$