Comment utiliser les DL pour les asymptotes

messy
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dans Analyse
Bonjour, j'ai un problème avec le fait d'appliquer les DL pour trouver les asymptotes.
Après avoir lu le cours des dévelopements limités je passe pour faire des exercices et je tombe sur des questions du genre
Prouver que f admet un dévelopement asymptotique quand x tend vers l'infini de la forme ...
ou bien Déterminer les asymptotes éventuelles à la courbe, au voisinage de l'infini ainsi que la position de la courbe par rapport à ses asymptotes.
Franchement là je bloque de plus quand je regarde la solution je n'y comprends rien de rien .nada.
D'abord est-ce qu'il y a une méthode standard pour ce genre de question ?
De plus je remarque dans les solutions qu'on cherche d'abord un développement limité mais je ne sais comment définir l'ordre.
De plus quand on obtient le DL on attribue des termes à l'asymptote de +infini et d'autres pour l'infini.
Et on détermine que la courbe est au-dessus et en dessous de l'asymptote sans que je ne comprenne rien.
Un peu d'explications serait les bienvenues
Merci.

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Un développement limité se fait au voisinage d'un réel, très souvent dans les exercices il s'agit de $0$. Un développement asymptotique est un développement quand on fait tendre la variable vers l'infini. On peut très souvent se ramener à ceci en utilisant un développement limité d'une fonction auxiliaire au voisinage de $0$.

    Par exemple, si on te demande un développement asymptotique de $$\sqrt{1+x^2}\ln\left(1 + \frac{1}{x}\right)$$ quand $x$ tend vers $+\infty$, il faut se ramener à des développements limités connus. Ici, on réécrit $$\sqrt{1+x^2} = x \sqrt{1+\frac{1}{x^2}}$$ puis on utilise le développement limité $$\sqrt{1+y} = 1 + \frac{y}{2} + o(y^2)$$ quand $y \to 0$, ce qui donne, puisque $\frac{1}{x}$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $+\infty$, $$x \sqrt{1+\frac{1}{x^2}} = x\left(1 + \frac{1}{2x^2} + o\left(\frac{1}{x^2}\right)\right) = x + \frac{1}{2x} + o\left(\frac{1}{x}\right)$$ quand $x \to +\infty$. Ensuite, de la même manière on trouve $$\ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} + o\left(\frac{1}{x^2}\right)$$ quand $x \to +\infty$.

    Finalement en développant le produit, on a $$\sqrt{1+x^2}\ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) = 1 - \frac{1}{2x} + o\left(\frac{1}{x}\right)$$ quand $x \to +\infty$. Si on veut plus de précision, il faut pousser les développements limités à des ordres plus élevés.
  • Dom
    Dom
    Bonsoir,

    Au sujet des DL de $x\mapsto f(x)$ en $+\infty$, une méthode assez répandue est de considérer des DL de $x\mapsto f(\frac{1}{x})$ en $0$.

    Pour les ordres des DL, je crois que la pratique (ou un exemple) est toujours mieux adaptée pour comprendre « quand s’arrêter ».
    Dans les exercices de L1, c’est assez rare (prenons des pincettes quand même) que l’on ai besoin d’aller à l’ordre $10$ (fourchette large).
    Je reprends donc : en poussant les DL à l’ordre 5 par exemple, on s’aperçoit assez vite que l’on est allé trop loin (c’est-à-dire qu’on a travaillé et perdu du temps pour « rien »).

    Au sujet de $+\infty$ et $\infty$ je crois que c’est selon...et que c’est la même chose quand on est dans $\R$. Sinon on déclare le signe dans le cas de $-\infty$.

    Pour savoir si une courbe est au dessus ou en dessous d’une autre (resp. d’un asymptote), on étudie le signe d’une différence et comme on est au voisinage de l’infini (on peut dire « de $+\infty$ » dans cette phrase, c’est exactement la même chose) les DL fournissent des signes (les petits $o$ étant négligeables...)

    Parlant de généralités, je m’aperçois que tout ce que je dis est assez vague...
  • messy
    messy
    BONJOUR, et merci pour vos reponses.
    cela m'a eclaire quelques points mais j'aurais encore des questions.
    je prefere vous montrer a travers un exercice et sa solution que j'ai trouve mais que je n'ai pas vraiment compris :
    Dèterminer les asymptôtes éventuelles à la courbe au voisinage de l'infini de la fonction définie par : f (x) = e^(1/x) * (x2+2x)1/2
    On précisera la position de la courbe par rapport aux asymptôtes .
    bon pour le DL j'ai compris comment proceder
    on trouve le DL f(x)=x+2+ (1/x) +(1/x)E(1/x) tq E est le epsilon

    mais pour la position de la courbe je n'ai compris
    voila ce qui est ecrit :
    La droite d'équation y = x + 2 est asymptôte à la courbe vers + l'infini.
    La position de la courbe est précisée par le terme 3/2x, donc la courbe est située au dessus de l'asymplôte vers +l'infini.
    . Au voisinage de -l'infini.: f(x)= -x-2+ (1 / |x|) +(1/x)E(1/x)
    La droite d'équation y = -x - 2 est asymptôle à la courbe vers - l'infini.
    1 La position de la courbe est précisé par le terme - , donc la courbe est située 1/lx l au dessus de l'asymptôte vers l'inifni.

    voila je n'ai pas compris pourquoi avoir choisi le x+2 seulement et laisser 1/x pour +l'infini et comment
    avoir trouver la position de la courbe, d'ou viens le 3/2x
    et alors la pour -l'infini le developement a changer de signe . je suis completement perdu.

    merci de repondre
  • Poirot
    Poirot
    Attention ce n'est pas un "DL" mais un "DA" : développement asymptotique. Le terme développement limité étant réservé au développement au voisinage d'un réel.

    Pour ce qui est de l'asymptote, tu gardes les termes de ton développement qui ne tendent pas vers $0$, ici $x+2$, et alors la courbe de $f$ se rapproche, quand $x$ est très grand, de la courbe d'équation $y=x+2$, c'est ça la notion d'asymptote. Pour la position de l'une par rapport à l'autre, il s'agit d'étudier le signe de $f(x)-(x+2)$ quand $x$ est grand grâce à ton développement asymptotique justement, s'il est positif, c'est que la courbe de $f$ se situe au-dessus de son asymptote, s'il est négatif, c'est qu'elle est en dessous. Note qu'il est possible que ni l'un ni l'autre ne se produise, par exemple la courbe de la fonction $x \mapsto \frac{\sin(x)}{x}$ admet pour asymptote la courbe d'équation $y = 0$ mais passe infiniment souvent au-dessus et en-dessous.
  • messy
    messy
    Bonjour,
    merci pour cela j'ai compris mais le problème maintenant c'est pour le DA en -l'ifini pourquoi a-t-il changé de signe ?
    Est-ce que pour -l'infini il y a un DA différent ou c'est quoi le problème.
    E    t j'ai une autre question est-ce les DA doivent suivre les règles des opérations sur les DL ??
    tq Par ex le DA de f(g) a lieu si g(0)=0 par exemple le DA de ln[(x+4)/(x+2)]
    est-ce que le DL de cette fonction a lieu on tenant compte que ln[(x+4)/(x+2)]= ln[1+ 2/(x+2)] et quand x tend vers l'infini on a 2/(x+2) tend vers 0 ??
  • malaka
    malaka
    Avec $\sqrt{x^2}=|x|$ donc $-x$ si $x$ est négatif tu devrais réussir à trouver le DA en $-\infty$ si tu as réussi à trouver celui en $+\infty$.
    Et bonne année.
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