Prolongement analytique.

B2Olomophe
B2Olomophe
dans Analyse
Salut à tous !

Tout d'abord, les zéros d'une fonction holomorphe sur un ouvert quelconque sont isolés.
Montrons le théorème de prolongement analytique : Si f, g deux fonctions holomorphes sur un ouvert $\Omega$ connexe et E un ensemble ayant un point d'accumulation inclus dans $\Omega$.
Si $f = g$ sur $E$ alors $f =g$ sur $\Omega$.
Preuve : Les zéros de la fonction holomorphe $f-g$ sur $\Omega$ contienne $E$ donc $f-g$ est la fonction nulle.

Problème : Je n'ai pas utilisé la connexité de $\Omega$ !

Réponses

  • petit-o
    petit-o
    Bonjour,

    La phrase "les zéros d'une fonction holomorphe (non nulle) sur un ouvert quelconque sont isolés" est inexacte.
    Pense à deux ouverts non vides disjoints, sur le premier tu considères l'application nulle, sur le deuxième l'application constante égale à 1. Et tu recolles ...
    La connexité écarte ce genre de cas.

    Cordialement.
  • B2Olomophe
    B2Olomophe
    Hum... Je vois !

    Il faut que je modifie ma preuve des zéros isolés alors.
    Pour l'instant je la poste fausse et je réfléchis.


    1) Montrons le résultat pour $0$ : Supposons que $0 \in \Omega$ et montrons qu’il est isolé.
    Soit $V$ un voisinage de $0$, $ \forall z \in V, f(z) = \sum_{n\in \mathbb{N}} a_{n}z^n$.
    L’ensemble $A = \{ n \in \mathbb{N} ; a_{n} \ne 0 \}$ est une partie de $\mathbb{N}$ non vide car $ f \ne 0 $ prenons son minimum $k>0$
    Ainsi $ f(z) = z^k(a_{k} + g(z))$ avec $g(0)\ne0$ par continuité de $g$ il existe un voisinage $W$ de $0$ tel que $\forall \omega \in W, g(\omega) \ne 0$ et donc $f(\omega) \ne 0$ pour tout $\omega \in \Omega - \{0\}$

    2) Montrons le résultat general : Supposons que $f$ s’annule en $z_{0} \in \Omega$ alors $g(z)=f(z+z_{0})$ s’annule en $0$ et $0$ est isolé dans les zéros de $g$ ce qui implique que $z_{0}$ est isolée dans les zéros de $f$
  • petit-o
    petit-o
    La bonne assertion serait : "les zéros d'une fonction holomorphe NON NULLE sur un ouvert CONNEXE sont isolés".

    Sur ton post précédent :
    L’ensemble $A=\{n\in\mathbb N;a_n\neq 0\}$ est une partie de $\mathbb N$ non vide car $f\neq 0$

    l'argument $f\neq 0$ est incorrect car il se peut que $f$ soit identiquement nulle au voisinage de $f$ quand même (penser à mon exemple avec $\Omega$ non connexe).

    Ce point corrigé, il me semble que tu es arrivé au fait suivant :
    << si $f$ est une fonction holomorphe qui s'annule en $z_0$ mais qui n'est pas identiquement nulle au voisinage de $z_0$, alors $z_0$ est isolé dans l'ensemble des zéros de $f$. >>
  • B2Olomophe
    B2Olomophe
    Est-ce que $\Omega$ connexe implique $A$ non vide ?
  • petit-o
    petit-o
    Non : $A$ n'est pas vide car $f$ n'est pas identiquement nulle au voisinage de $z_0$.
    Sinon on obtient une contradiction en développant en série entière $f$ en $z_0$, le rayon de convergence étant non nul.
  • B2Olomophe
    B2Olomophe
    Ok merci beaucoup pour votre aide :).
  • B2Olomophe
    B2Olomophe
    Du coup nouveau plan de preuve :

    1) Dans un ouvert connexe, f localement nulle <=> f nulle.
    2) Zéro isolé : Je modifie la preuve en disant que f ne peut pas être localement nulle en z0
    3) Prolongement analytique comme j'avais dit.
  • petit-o
    petit-o
    En revenant sur le principe du prolongement analytique (et en évitant le principe des zéros isolés),
    il faudra essayer de montrer le fait suivant (et il faudra faire le lien avec la connexité plus tard).

    << Si $f$ est une fonction holomorphe définie sur un ouvert $\Omega$ de $\mathbb C$,
    alors l'ensemble $B:=\displaystyle\bigcap_{n\in\mathbb N}\{z\in\Omega \mid D^nf(z)=0\}$ est fermé et ouvert dans $\Omega$. >>

    Edit : je n'avais pas lu ton dernier message :
    1) oui, avec ce que je viens d'écrire ; mais c'est en germe le principe du prolongement analytique

    En fait pour préciser ton plan :
    1) principe du prolongement analytique sans parler de point d'accumulation
    2) principe des zéros isolés
    3) principe du prolongement analytique avec point d'accumulation.
  • B2Olomophe
    B2Olomophe
    Merci d'avoir préciser mon plan !
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