Fonctions équivalentes
Svp aidez-moi
D'après ce théorème https://www.cjoint.com/c/IAbpebR3VcM on peut conclure ça https://www.cjoint.com/c/IAbpebR3VcM
alors qu'on pourrait prendre aussi x comme fonction équivalente de numérateur et x comme fonction équivalente du dénominateur car la limite quand x tend vers 0 c'est 0 pour les deux fonctions et on obtient alors la limite du quotient de ces deux fonctions 1 alors que c'est faux.
[À l'avenir, écris tes mots en entier. Merci. AD]
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1753058,1753100#msg-1753100
D'après ce théorème https://www.cjoint.com/c/IAbpebR3VcM on peut conclure ça https://www.cjoint.com/c/IAbpebR3VcM
alors qu'on pourrait prendre aussi x comme fonction équivalente de numérateur et x comme fonction équivalente du dénominateur car la limite quand x tend vers 0 c'est 0 pour les deux fonctions et on obtient alors la limite du quotient de ces deux fonctions 1 alors que c'est faux.
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Réponses
$\displaystyle\frac{x^3-x^2+2x}{3x^3+2x^2-x} = \frac{x^2-x+2}{3x^2+2x-1}\to \frac{2}{-1}=-2$
Par ailleurs
$x^3-x^2+2x\sim 2x$
$3x^3+2x^2-x\sim -x$
Quant à votre question, elle est incompréhensible...
(x3+x2+2x) est équivalente à (x) au voisinage de 0
(peut-être voulais-tu écrire autre chose que $x$ ?)
la limite quand x tend vers 0 du dénominateur est de zéro aussi
donc x3 +x2+2x est équivalent a x au voisinage du zéro
est-que mon raisonnement est juste?
Notons $f(x) = x^3+x^2+2x$. Après avoir constaté que $x$ est en facteur dans $x^3+x^2+2x$, tu aurais pu écrire $f(x) = 2x \, (\frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{2} x+1) = 2x \, g(x)$ avec $g(x) = \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{2} x+1$. Nous avons donc $f(x) = 2x \, g(x)$ pour tout $x$ réel, avec $\lim_{x\to0} g(x) = 1$. Ceci prouve que la fonction $f$ est équivalente à $x\mapsto 2x$ en 0.
Ce que je viens de faire est un peu plus précis que le quotient car cela fonctionne aussi en $x = 0$, alors que le quotient exclut cette valeur. Je t'avais suggéré le quotient, car en voyant qu'il tendait vers $2$, tu aurais dû conclure tout de suite que $x^3+x^2+2x$ n'est pas équivalent à $x$ quand $x$ tend vers $0$ (si les deux fonctions sont équivalentes, alors leur quotient tend vers $1$ ; donc s'il ne tend pas vers $1$, c'est qu'elles ne sont pas équivalentes au point considéré, à savoir $0$ ici). Ceci répondait à une de tes questions.
Par ailleurs, $f$ est une fonction polynôme, et le fait que $f(x) \sim_{x\to 0} 2x$ comme je viens de le démontrer, est un cas particulier des résultats classiques sur les équivalents des fonctions polynômes. En d'autres termes, cela doit être dans ton cours : une fonction polynôme est équivalente :
On traite comme cela numérateur et dénominateur, et en général, ce qui reste est plus facile à étudier que l'expression de départ, surtout que l'on peut multiplier et diviser les équivalents (mais attention, pas les additionner ni les soustraire, sauf dans des conditions bien particulières !).
[1] Ce serait $x^3$ si l'on s'intéressait aux conditions $x\to +\infty$ ou $x\to -\infty$.