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Convergence uniforme

ccapucineccapucine
dans Analyse
Bonjout
si $\varphi \in \mathcal{D}(\R)$ celà implique que $\varphi'$ aussi est uniformément continue. D'un autre côté, si on définit $\varphi_n(x)= n(\varphi(x+1/n)-\varphi(x))$ alors par le théorème des accroissements finis il existe $x_n \in (x,x+1/n)$ tel que $\varphi_n(x)= \varphi'(x_n)$.
Donc $\sup_x |\varphi_n(x)-\varphi'(x)|= \sup_x|\varphi'(x_n)-\varphi'(x)|$.
Comment combiner toutes ces informations pour conclure la convergence uniforme de $\varphi_n$ vers $\varphi'$?

Cordialement

Réponses

  • marsupmarsup
    J'ai l'impression que c'est plutôt $\varphi_n(x)= n \cdot (\varphi(x+1/n)-\varphi(x))$.
  • ccapucineccapucine
    oui marsup c'est exact. Vous pouvez m'aider?

    Cordialement
  • marsupmarsup
    J'ai l'impression que tu as tout dit.

    $\sup_x |\varphi_n(x)-\varphi'(x)|= \sup_x|\varphi'(x_n)-\varphi'(x)| \le
    \omega_{\varphi'}\big(\frac{1}{n}\big)$,

    où $\omega_f(\delta) = \sup_{|x-x'|\le \delta} |f(x)-f(x')|$ est le module de continuité d'une fonction $f$ uniformément continue.

    On a bien $\lim\limits_{\delta\to 0}\omega_f(\delta) = 0$.
  • ccapucineccapucine
    C'est l'inégalité $\sup_x |\varphi'(x_n)-\varphi(x)| \leq \dfrac{1}{n} \sup_{|x-x_n| \leq \delta} |\varphi'(x_n)-\varphi(x)|$ qui me pose souci. D'où vient-elle? S'il vous plaît.
  • marsupmarsup
    Si $x<x_n<x+\frac{1}{n}$, alors $|x-x_n| \le \frac{1}{n}$, donc $(x,x_n) \in \{(y,y')\in\R^2, |y-y'|\le \frac{1}{n}\}$.

    Or pour $(z,z')\in\{(y,y')\in\R^2, |y-y'|\le \frac{1}{n}\}$, on a : $|f(z)-f(z')| \le \sup_{|y-y'|\le \frac{1}{n}}|f(y)-f(y')| = \omega_f\big(\frac{1}{n}\big)$, où $f = \varphi'$.

    J'espère que je ne dis pas de bêtise, parce que ce que je dis se veut complètement tautologique.
  • mathematocmathematoc
    Bonsoir.
    J’ai l’impression qu’on peut tout simplement dire que :
    $\varphi(x+1/n)-\varphi(x)=\frac{1}{n}\varphi '(x) +o(1/n)$, donc $|\varphi_n (x)-\varphi '(x)|=O(1/n)$, terme indépendant de $x$ qui tend vers $0$, non ?
  • CyranoCyrano
    Non tu ne peux pas car le reste est de la forme $\frac{1}{n^2} \varphi''(\xi_{x,n})$ avec $\xi_{x,n} \in ]x,x+n[.$ Mais comme $\varphi''$ est globalement borné sur $\R$, on a simplement $$\sup_{x \in K} |\varphi_n (x)-\varphi '(x)| = \frac{1}{n} \sup_{x \in K} |\varphi''(\xi_{x,n})| \leq \frac{1}{n} \sup_{y\in \R} |\varphi''(y)| \underset{n\to +\infty}\to 0.$$
  • mathematocmathematoc
    Oui mon doute était bien justifiée, merci! :-)
  • ccapucineccapucine
    Merci beaucoup c'est très clair :-)
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