Suite $u_{n+1} - 2u_n \rightarrow 0$

Bonsoir,

$(2^n)$ n'est pas bornée.

Y.

OK, je devrais lire les énoncés! Pardon...

Donc, c'est vrai ! Toujours la même méthode issue des équations différentielles (convolution, ici discrète, par une solution fondamentale).

Intéressons-nous alors à résoudre $u_{n+1}-2u_{n}=a_{n}$ où $a$ tend vers $0.$
Après avoir cherché une solution fondamentale de cette équation (par exemple : $v_{n}=2^{n-1}$ si $n\geq 1$ et $v_{0}=0$),
on obtient que les suites admissibles sont de la forme $$\forall n\in \mathbb{N},\ u_{n}=2^{n}\left( u_{0}+\sum_{k=0}^{n-1}\frac{a_{k}}{2^{k+1}}\right).
$$ Ainsi, si la suite $u$ est bornée alors nécessairement, la somme de la série convergente $\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}\frac{a_{k}}{2^{k+1}}$ vérifie $$\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{a_{k}}{2^{k+1}}=-u_{0}.
$$ Il vient donc $$\forall n\in \mathbb{N},\ u_{n}=2^{n}\sum_{k=n}^{+\infty}\frac{a_{k}}{2^{k+1}}.

$$ Finalement, on obtient la majoration suivante $$\forall n\in \mathbb{N},\ \vert u_{n} \vert \leq \sup_{k\geq n}\vert a_{k} \vert \times 2^{n} \sum_{k\geq n}\frac{1}{2^{k+1}}\leq \sup_{k\geq n}\vert a_{k}\vert.
$$ Et ainsi, $u$ tend bien vers $0.$

@ Gilles : mais non, peut-être que tout ne tombe pas à l'eau ...

Une valeur d'adhérence de la suite $(u_n)$ est la limite de l'une de ses sous-suites.

Deux résultats :
1) Toute suite bornée admet une valeur d'adhérence.
2) Si une suite bornée n'a qu'une seule valeur d'adhérence $l$, alors elle converge vers $l$.

Pour revenir au problème :
Soit $l$ une valeur d'adhérence de $(u_n)$.
Comme $u_{n+1}-2u_n$ tend vers $0$, on montre que $2l$ est aussi une valeur d'adhérence de $(u_n)$.
Par récurrence, $2^n l$ en est une aussi.
Vu que $(u_n)$ est bornée, nécessairement $l=0$.

Cordialement.