Pensez à lire la Charte avant de poster !

$\newcommand{\K}{\mathbf K}$


Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures
 Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
238 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 

Équation fonctionnelle

Envoyé par mustapha 
Équation fonctionnelle
l’an passé
Bonjour chers collègues, j'essaie de développer l'exercice suivant.

Déterminer les fonctions $f$ définies et continues sur $\mathbb R^+$ et continûment dérivables sur $\mathbb R_{+}^{*}$ telles que: pour tout $x\in\mathbb R^+,\ f(x^2)=f(x)^2.$

Les résultats suivants sont facilement faisables.

Il y a deux fonctions constantes la fonction nulle et la fonction égale à 1.
Toutes les solutions sont positives.
Sur l'intervalle [0,1] , $0\leq f(x)\leq 1$

En considérant pour $A>0$ la suite $f(A^{2^{n}})$, on montre que si $f(A)=0$, alors $f(1)=0$.
Reste à montrer que si $ f$ est non constante, alors elle ne s'annule pas.
Merci.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.
Re: Équation fonctionnelle
l’an passé
avatar
Bonjour,

La fonction identité sur les réels positifs est solution. Elle n’est pas constante. Elle s’annule en $0.$ Non ?
Re: Équation fonctionnelle
l’an passé
il y a les fonctions $x^{\alpha}$ avec $\alpha$ supérieure où égal a 1
Re: Équation fonctionnelle
l’an passé
Oui, mais je pense que si $A$ est strictement positif et si $f(A)=0$, alors $f$ est nulle. Si j'arrive à établir ça, c'est possible de montrer que ce sont les fonctions puissances.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.
Re: Équation fonctionnelle
l’an passé
L'hypothèse « $f$ dérivable en 0 » suffit. On se ramène à $g(2x)=2g(x)$. Concours général 1985 :
[www.les-mathematiques.net]
Bonne soirée.
Fr. Ch.
JLT
Re: Équation fonctionnelle
l’an passé
avatar
"f dérivable en 1" plutôt.
Re: Équation fonctionnelle
l’an passé
avatar
Bonjour,

On cherche les fonctions $f$ continues sur $[0,+\infty[$ telles que $f(x^2)=f(x)^2$ pour tout $x\geq 0.$
La fonction identiquement nulle est solution.
Si la fonction n’est pas identiquement nulle, il existe $y$ tel que $f(y) >0.$ On se place dans un voisinage $V$ de $y$, et alors, pour tout $x$ dans ce voisinage, $f(x) >0$.
On pose alors $f(x) =e^{a(x) \ln x}$ et donc $(a(x^2)-a(x))\ln x=0$ et donc $a$ est nécessairement une constante (n’est-ce pas ?). On a donc $f(x)=x^a$ puis comme $f$ est dérivable, alors $a \geq 1$ et, puisqu’elle est monotone strictement croissante, on prolonge cette solution du voisinage sur $[0,+\infty[.$

Comme pour tout $x$ dans le voisinage, pour $x\neq 1$, $a(x^2)=a(x)=a(x^{1/2^k}) \to a(1), k\to +\infty$, alors $a$ est constante dans ce voisinage et pour $x\neq 1$ : mais $f$ et donc $a$ est continue et donc $a$ est constante dans le voisinage.
Re: Équation fonctionnelle
l’an passé
Merci beaucoup
Re: Équation fonctionnelle
l’an passé
Dans votre réponse Mr YvesM , on doit avoir la stabilité du voisinage V par la fonction $x\mapsto x^2$



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par mustapha.
Re: Équation fonctionnelle
l’an passé
@ JLT
En effet, j'étais resté sur l'hypothèse du Concours général 1985.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Chaurien.
Re: Équation fonctionnelle
l’an passé
Et en plus ce n'est pas le même énoncé. Je me suis encore planté. Mais ça ressemble.
Re: Équation fonctionnelle
l’an passé
En dérivant la relation donnée, puis en considérant la fonction $h(x)=x\frac{f'(x)}{f(x)}$, on a $h(x^2)=h(x)$.
Il me reste juste à montrer que f ne s'annule pas sur $\mathbb{R_{+}^{*}}$
Re: Équation fonctionnelle
l’an passé
Dans le cas où $f(1)=1$ par continuité il existe

il existe $\left( \alpha ,\beta \right) $ tel que $\alpha
<1<\beta $ et tel que \ $\forall x\in \left[ \alpha ,\beta \right] ~,f\left(
x\right) >0.$

puis par récurrence pour tout $n\in \mathbb{N}$ , et $%
\forall x\in \left[ \alpha ^{2^{n}},\beta ^{2^{n}}\right] ~,f\left( x\right)
>0.$ ce qui entraîne que pour tout $x>0$ , $f\left( x\right) >0.$

J'ai la difficulté lorsque $f(1)=0$



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de l&rsquo;an pass&eacute; et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par mustapha.
Re: Équation fonctionnelle
l’an passé
Encore une fois JLT a raison : il suffit de supposer $f$ dérivable au point 1 pour avoir des solutions raisonnables
Re: Équation fonctionnelle
l’an passé
Si on a juste la dérivabilité en 1 , on ne peux pas introduire la fonction $h$.
Re: Équation fonctionnelle
l’an passé
Cherchons les fonctions $f$ définies sur $\mathbb R_+^*$, dérivables en $1$, et telles que : $\forall x \in \mathbb R_+^*$, $f(x^2)=f(x)^2$.
En posant, pour tout $x \in \mathbb R$ : $g(x)=f(e^x)$, on obtient la seconde équation de l'exercice I du Concours général de 1985 : $\forall x \in \mathbb R, g(2x)=g(x)^2$, avec $g$ dérivable en $0$.
Si $f$ n'est pas la fonction nulle, alors $g$ n'est pas la fonction nulle, et on montre que dans ce cas : $g(x)>0$ pour tout $x \in \mathbb R$.
On pose : $u(x)=\ln g(x)$, ce qui conduit à : $\forall x \in \mathbb R, u(2x)=2u(x)$, avec $u$ dérivable en $0$. On montre que $u$ est une fonction $\mathbb R$-linéaire, et il s'ensuit que $g$ est une fonction exponentielle, et $f$ est une fonction-puissance : $f(x)=x^m$, $ m \in \mathbb R$.
Si l'on veut de plus que $f$ soit définie sur $\mathbb R_+$ et continue en $0$, alors $f(x)=x^m$, $ m \ge 0$.
Bonne fin de nuit.
Fr. Ch.
18/01/2019



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de l&rsquo;an pass&eacute; et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Chaurien.
Re: Équation fonctionnelle
l’an passé
avatar
Bonjour,

@mustapha :
Comme $f(y) \neq 0$, alors $f(y^2) \neq 0$ puisque $f(y^2) = f(y)^2$ et il existe un intervalle $V = ]a,b[ \cup ]a^2, b^2[\cup ...$ avec $a<b$, $a\geq 0$, $a<y<b$ et $a^2 < y^2<b^2$ tel que $f(y) \neq 0.$
On a montre alors que, $\forall x \in V$, $f(x) >0$ puis $f(x) = x^m$, $m \in \R.$
Par prolongement, $b$ est le plus petit réel plus grand que $y$ tel que $f(b) = 0$ : contradiction. donc $b = +\infty.$ De même, $a$ est le plus grand réel plus petit que $y$ tel que $f(a)=0$ : si $m=0$, contradiction, si $m \neq 0$, alors $m >0.$
Pour $m=0$, on a $f$ constante et la solution est $f=1$ sur $[0, \infty[.$
La solution trouvée est donc :
soit $f$ identiquement nulle,
soit $f$ constante égale à $1$,
soit $f(x) = x^m, m>0.$



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de l&rsquo;an pass&eacute; et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par YvesM.
JLT
Re: Équation fonctionnelle
l’an passé
avatar
Supposons qu'il existe $a>0$ tel que $f(a)=0$. Alors $f(1)=\lim_{n\to\infty}f(a^{2^{-n}})=0$, donc pour tout $x>0$, on a $f(x)=\lim_{n\to\infty}(f(x^{2^{-n}}))^{2^n}=0$.

Supposons donc dans la suite que $f(a)>0$ pour tout $a>0$. Soit $g(x)=\ln f(e^x)$. Pour tout $x$ on a $g(2x)=2g(x)$, donc $g(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{g(2^{-n}x)}{2^{-n}}=xg'(0)$. On en déduit que $f(t)=t^{g'(0)}$ pour tout $t$.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de l&rsquo;an pass&eacute; et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par JLT.
Re: Équation fonctionnelle
l’an passé
avatar
Bonjour,

@JLT : il me semble qu'on a une forme indéterminée pour la limite $\lim_{n \to +\infty} (f(x^{1/2^n}))^{2^n}$, non ?
JLT
Re: Équation fonctionnelle
l’an passé
avatar
$0^\infty=0$.
Re: Équation fonctionnelle
l’an passé
D'accord avec la solution de JLT, qui est la même que la mienne ci-dessus, mais « compactée » en ce sens qu'elle ne prend qu'une fonction auxiliaire alors que j'en prends deux, afin de me brancher sur l'énoncé du Concours général de 1985, c'est mon côté passéiste winking smiley.

Cette solution montre bien que la bonne hypothèse est celle que j'ai indiquée : on cherche les fonctions $f$ définies sur $\mathbb R_+^*$, dérivables en $1$, et telles que : $\forall x \in \mathbb R_+^*$, $f(x^2)=f(x)^2$. Si l'on veut les fonctions $f$ définies sur $\mathbb R_+$, il suffit d'ajouter $f(0)=0$ ou $f(0)=1$. Et si l'on veut les fonctions $f$ continues sur $\mathbb R_+$, il suffit de supposer la continuité en $0$.

Pour obtenir seulement les fonctions-solutions $f(x)=x^m$ la continuité partout ne suffit pas. Dans ce type d'équations fonctionnelles, ne faisant intervenir qu'une valeur de la variable, une dérivabilité est le plus souvent indispensable pour obtenir seulement les fonctions-solutions « régulières » souhaitées.

Reprenant les notations de mon précédent message, notre équation se ramène à : $\forall x \in \mathbb R, u(2x)=2u(x)$ comme j'ai dit. On peut bricoler une solution continue de cette dernière équation en prenant une fonction $u$ continue quelconque sur $[1,2]$, avec $u(2)=2u(1)$, et en prolongeant convenablement par $u(2x)=2u(x)$ à tous les intervalles $[2^n,2^{n+1}], n\in \mathbb Z$, avec de plus $u(0)=0$. Cette fonction sera continue partout sur $\mathbb R_+^*$, et aussi en $0$, donc sur $\mathbb R_+$. Et l'on procède de même sur $\mathbb R_-$ en prenant $u$ continue quelconque sur $[-2,-1]$, avec $u(-2)=2u(-1)$. Ce qui donne au final une fonction $u$ continue sur $\mathbb R$, vérifiant $u(2x)=2u(x)$, et qui n'est pas nécessairement $\mathbb R$-linéaire. La fonction $f$ qui en résulte, et qui est définie par $f(x)=e^{u(\ln x)}$, ne sera pas nécessairement $f(x)=x^m$.

Bonne soirée.
Fr. Ch.
19/01/2019



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de l&rsquo;an pass&eacute; et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Chaurien.
Re: Équation fonctionnelle
l’an passé
avatar
Bonjour,

Pour $f(x^2)=f(x)^2$, la forme la plus generale que je trouve, non identiquement nulle, est $f(x)=\exp(|\ln x| T(\ln|\ln x|)), x\neq 0$ avec $T$ une fonction $\ln 2$- périodique.



Edité 3 fois. La derni&egrave;re correction date de l&rsquo;an pass&eacute; et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par YvesM.
Seuls les utilisateurs enregistrés peuvent poster des messages dans ce forum.

Cliquer ici pour vous connecter

Liste des forums - Statistiques du forum

Total
Discussions: 140 660, Messages: 1 375 515, Utilisateurs: 25 641.
Notre dernier utilisateur inscrit Bachoc.


Ce forum
Discussions: 31 447, Messages: 291 061.

 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page