Théorème de Dirichlet
Il est bien connu que si f est une fonction de carré intégrable 2pi-périodique sur R, elle est égale à la somme de sa série de Fourier, ce qui est une conséquence immédiate de la théorie des espace de Hilbert car L2(0,2pi) est un espace de Hilbert.
D'un autre côté, on a le théorème de Dirichlet : Théorème_de_Dirichlet qui énonce d'autres conditions suffisantes sur f pour qu'elle soit égale à sa série de Fourier. Afin de voir l'intérêt de ce théorème, je cherche une fonction qui vérifie ces conditions, mais qui n’est pas L2. J'ai pensé à la fonction f(x) = 1/sqrt(x) définie sur ]0,2pi] avec par exemple f(0)=0 et prolongé par périodicité, qui est intégrable mais pas dans L2, mais je n'arrive pas à la modifier pour satisfaire l'ensemble des conditions du théorème. notamment l'existence de limites à gauche et à droite.
Avez-vous un exemple d'une telle fonction ?
[Correction du lien. AD]
D'un autre côté, on a le théorème de Dirichlet : Théorème_de_Dirichlet qui énonce d'autres conditions suffisantes sur f pour qu'elle soit égale à sa série de Fourier. Afin de voir l'intérêt de ce théorème, je cherche une fonction qui vérifie ces conditions, mais qui n’est pas L2. J'ai pensé à la fonction f(x) = 1/sqrt(x) définie sur ]0,2pi] avec par exemple f(0)=0 et prolongé par périodicité, qui est intégrable mais pas dans L2, mais je n'arrive pas à la modifier pour satisfaire l'ensemble des conditions du théorème. notamment l'existence de limites à gauche et à droite.
Avez-vous un exemple d'une telle fonction ?
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Réponses
D'ailleurs une dernière remarque : dans $L^2$, la série de Fourier et la fonction d'origine ne sont égales que presque partout.
Mais du coup je me pose une autre question : Peut-on avoir une fonction f périodique intégrable qui en tout point possède une limite à gauche et une limité à droite, mais qui ne soit pas dans L2 ?
Le théorème de Dirichlet parle d'une convergence ponctuelle, ce qui n'est pas la même chose, c'est beaucoup plus fort ! (bien que la convergence ponctuelle dans le théorème de Dirichlet se fasse vers la moyennisée de $f$) Une fonction admettant des limites à gauche et à droite en tout point est ce qu'on appelle une fonction réglée. Une telle fonction est toujours bornée sur un segment, donc elle sera toujours $L^2$ sur ce segment.