Prolongement analytique maximal, surface de R
Bonjour à tous,
En travaillant sur le principe de prolongement analytique d'une fonction holomorphe $f$ définie sur un ouvert connexe $\Omega$ de $\C$, je me suis posé la question suivante :
Existe-t-il une extension maximale de la fonction $f$ dans le sens suivant : un ouvert $U$ connexe contenant $\Omega$, et une fonction $g : U \to \C$ dont la restriction sur $\Omega$ est égale à $f$, et telle que toute autre fonction holomorphe $h : \Omega' \to \C$ où $\Omega'$ ouvert connexe intersectant $\Omega$, et $h$ coïncidant avec $f$ sur $\Omega \cap \Omega'$, on aurait $\Omega' \subset U$ et $h$ est la restriction de $g$ sur $\Omega'$ ?
Existe-t-il une telle extension maximale dans ce sens ? si oui, quelle serait le domaine maximal $U$ pour la fonction $z \to \log (1+z)$ définie initialement sur le disque unité à partir de sa célèbre série entière ?
Mon petit doigt me dit que la réponse est négative, et qu'une éventuelle extension maximale serait liée plutôt à une surface de Riemann associée à la fonction holomorphe (à cause des problèmes de monodromie). Cependant mon petit doigt n'a pas pu me détailler l'argumentation ni me donner une référence bibliographique pour y voir plus clair.
Merci par avance.
En travaillant sur le principe de prolongement analytique d'une fonction holomorphe $f$ définie sur un ouvert connexe $\Omega$ de $\C$, je me suis posé la question suivante :
Existe-t-il une extension maximale de la fonction $f$ dans le sens suivant : un ouvert $U$ connexe contenant $\Omega$, et une fonction $g : U \to \C$ dont la restriction sur $\Omega$ est égale à $f$, et telle que toute autre fonction holomorphe $h : \Omega' \to \C$ où $\Omega'$ ouvert connexe intersectant $\Omega$, et $h$ coïncidant avec $f$ sur $\Omega \cap \Omega'$, on aurait $\Omega' \subset U$ et $h$ est la restriction de $g$ sur $\Omega'$ ?
Existe-t-il une telle extension maximale dans ce sens ? si oui, quelle serait le domaine maximal $U$ pour la fonction $z \to \log (1+z)$ définie initialement sur le disque unité à partir de sa célèbre série entière ?
Mon petit doigt me dit que la réponse est négative, et qu'une éventuelle extension maximale serait liée plutôt à une surface de Riemann associée à la fonction holomorphe (à cause des problèmes de monodromie). Cependant mon petit doigt n'a pas pu me détailler l'argumentation ni me donner une référence bibliographique pour y voir plus clair.
Merci par avance.
Réponses
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Ton petit doigt a raison. Il me semble que tu trouveras quelques petites choses dans le livre de Cartan (section surfaces de Riemann) ; il y en a aussi par exemple dans ces notes de cours.
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Merci beaucoup.
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Bonjour,
Une question plus précise pour voir si j'ai bien compris les choses : si $f$ et $g$ sont deux déterminations "maximales" du logarithmes, disons que $f$ est définie sur $U = \C \backslash \R^-$ et $g$ définie sur $V = \C \backslash \R^+$, les deux déterminations étant définies comme primitives de la fonction $z \to \frac{1}{z}$. L'idée qu'on pourrait avoir est de prolonger $f$ par $g +c$, où $c$ est une constante, vu que sur l'intersection de leurs domaines de définition, elles sont forcément égales à une constante près.
Je sais bien qu'une telle opération est impossible car il est impossible d'avoir au final une détermination du logarithme sur la réunion de ces deux domaines qui est $\C^*$ à cause du problème de simple connexité, mais ma question concerne précisément l'obstruction à la réalisation de ce recollement.
La raison qui me parait empêcher ce recollement est que $U \cap V$ n'est pas connexe, on peut l'écrire comme réunion de deux demi-plans ouverts disjoints $A$ et $B$, et que $f-g$ est constante sur chacune de ces composantes connexes, mais que fatalement les deux constantes ne sont pas égales, donc impossible de recoller les deux fonctions. Ai-je raison ?
Merci par avance. -
Oui.
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Et la surface de Riemann de $f$ analytique au voisinage de $z_0$ c'est : prendre tous les chemins $\gamma : z_0 \to \gamma(1)$ tels que le prolongement de $f$ est analytique au voisinage de $\gamma$, ça te donne une fonction $f^\gamma$ analytique au voisinage de $\gamma(1)$, et les points de ta surface de Riemann c'est l'ensemble des $ f^\gamma$
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Bonjour!
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