Montrer que ces fonctions sont continues

Bonjour.

Pour deux nombres a et b, max(a,b) est celui des deux qui est le plus grand, min(a,b) celui qui est le plus petit.

On étend cela au x fonction :
max(f,g) : x--> max(f(x), g(x))
idem pour min.
0 étant la fonction constante nulle max(f,0)(x) =max(f(x),0) ce qui donne f(x) si f(x) est positif, 0 si f(x) est négatif.

Par exemple, si f(x)=x^2-1, f⁺ est la fonction qui vaut 0 entre -1 et 1, et x²-1 ailleurs. Je te laisse tracer sa courbe.

Pour la continuité, si, sur un intervalle ouvert, f est strictement positive ou strictement négative, alors f⁺ est une fonction continue sur cet intervalle (soit f, soit 0). Ne reste à voir que là où f s'annule.

Je te laisse réfléchir à la rédaction d'une preuve (utilise bien le fait que f est continue). Bon travail !

Petite astuce pour la 2) si tu veux :
max(f,g) = 1/2 * ( f + g + |f - g| )

Et tu peux trouver une formule similaire pour le min.

Bon courage

Eh bien il suffit de le vérifier point par point ! Plus généralement, si $x, y \in \mathbb R$, $\max(x, y) = \frac{1}{2}(x+y+|x-y|)$. Il suffit de faire une distinction de cas pour le montrer.

Distingue deux cas, selon que $x\ge y$ ou que $x<y$. Si tu as besoin d'internet pour démontrer cette formule, c'est mauvais signe.

Tu ne sais pas compléter les points de suspension :

• si $x\ge y$ alors $x-y\ge0$ donc $|x-y|=\cdots$ et $\frac{1}2\bigl(x+y+|x-y|\bigr)=\cdots$ ;
• si $x<y$ alors $x-y<0$ donc $|x-y|=\cdots$ et $\frac{1}2\bigl(x+y+|x-y|\bigr)=\cdots$ ?