Application aux équations différentielles

benhure · January 2019

Bonjour j'ai un devoir à rendre pour lundi prochain au sujet des équations différentielles, voici le sujet.

Une frégate située à l’origine dans le plan se déplace à vitesse constante a dans la direction positive le long de l’axe vertical. Au même moment, un galion au point de coordonnées (c,0) se lance à sa poursuite (en vue d’un abordage) à la vitesse constante b.
Montrer, en utilisant le fait que le galion se déplace toujours dans la direction de la frégate, que la position (x,y) du galion satisfait l’équation

x*d²y/dx²= (a/b)*sqrt(1 + (dy/dx)²).

Résoudre cette équation, en considérant séparement les cas a > b et a < b.

Sans parler de la résolution de l'équation, je n'ai aucune idée de la manière dont retrouver cette equation différentielle. J'ai fait un dessin de la situation mais cela ne m'aide pas plus...
Merci d'avance pour votre aide !

Héhéhé · January 2019

Regarde du côté de cet article.

Jean-Claude · January 2019

L'exercice n'est pas si simple qu'il en a l'air.
On peut trouver sans trop de problème les relations différentielles vérifiées par x(t) et y(t), coordonnées du chien.
Il s'agit d'écrire l'équation d'une tangente et d'exprimer l'élément de la courbe du chien par rapport à sa vitesse.
C'est après que cela se complique parce qu'il faut exprimer y en fonction de x du point de vue différentielle. Le site cité par @héhéhé considére cela comme évident et fait du calcul différentiel à la physicienne ou à la façon du 18e siécle. Bien sûr l'auteur sait où il va et retombe sur ces pieds comme dans la page Courbe de poursuite.

gerard0 · January 2019

Bonjour.

l'auteur a trouvé (voir cet autre forum)
Ce qui est surprenant, c'est qu'il repose ici son sujet comme s'il n'avait pas déjà eu des aides, ce qui fait que vous (Héhéhé et Jean-Claude) lui répondez pour rien. A moins que ce qu'il raconte sur l'autre forum soit une conséquence de la référence de Héhéhé et que sa "courbe du bélier" soit un mensonge.

Cordialement.

benhure · January 2019

Je reposais en effet ce sujet pour savoir s'il n'y avait pas un autre moyen étant donné que je n'ai pas saisi le sens de la résolution que vous me proposiez sur l'autre forum! J'ai toujours préféré croiser les sources!
Merci à tous pour votre aide, j'ai pu résoudre mon problème!

SERGE_S · February 2019

@ benhure :

Dans le plan muni d'un repère orthonormé (O, i, j) exprime d'abord la vitesse de la frégate, puis celle du galion en tenant compte du fait que le galion pointe la frégate à chaque instant.
Tu trouveras deux équations différentielles. Un petit calcul algébrique permettra d'éliminer le temps entre elles pour obtenir une relation uniquement entre x et y (coordonnées du galion à l'instant t).

On peut échanger fregate e galion avec renard et lapin. C'est un exercice classique di cinematique qu'on donne en première année de physique.

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