Généralisations d'un exercice

PolVano · February 2019

Bonsoir
Il y a un exercice très connu qui se traite par le théorème de Weierstrass (densité des polynômes dans l'ensemble des fonctions continues sur un segment) qui est le suivant.

Trouver les fonctions continues sur $[0,1]$ à valeurs dans $\R$ ou $\C$ telles que $\displaystyle \int_{0}^{1}{t^{k}f(t)dt}=0$ pour tout $k$ dans $\N$.

J'aimerais savoir s'il y a des généralisations de cet exercice ou d'autres versions qui reposent sur la même idée.
Merci d'avance.

Tryss · February 2019

Manque un bout de l'énoncé

PolVano · February 2019

Je m'excuse pour ma faute. J'ai corrigé l'énoncé dans l'exercice initial. Merci d'avance.

Poirot · February 2019

C'est un fait général à propos des espaces préhilbertien. L'orthogonal d'une famille totale est réduit à l'espace nul.

PolVano · February 2019

Je vois. J'aimerais vous demander s'il y a des familles totales connues ou classiques pour cet espace de fonctions. Bien sûr, toute base de l'espace des polynômes sera une famille totale dans l'espace des fonctions continues sur un segment. J'aimerais savoir s'il y en a d'autres qui sont souvent utilisées. Ou même des familles orthonormées totales (bases hilbertiennes du coup).
Merci d'avance.

[Pourquoi mettre une apostrophe après le y de "il y a" ou "il y en a" ? AD]

Poirot · February 2019

Tu peux aussi considérer la famille des $t \mapsto \mathrm{e}^{2i\pi nt}$, $n \in \mathbb Z$.

marsup · February 2019

Soit l'application $\Phi:\mathcal{C}^0\big([0;1],\R\big) \to \big(\R[X]\big)^\vee$ (dual de l'espace vectoriel)
qui, à $f:[0;1]\to\R$, associe la forme linéaire $\phi_f=\Phi(f)$, elle-même définie sur le polynôme $P\in\R[X]$
par $\phi_f(P) = \int_0^{1} P(x) \cdot f(x) dx$

Cette application $\Phi$ est donc injective.

Est-elle bijective ?

PolVano · February 2019

Merci pour vos réponses.

Généralisations d'un exercice

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