Suite réelle

etanche · February 2019

Bonjour
$p > 1$ fixé, une suite $u_{n}$ strictement positive.

on suppose $ \sum_{k=1}^{n}(u_{k})^{p}=O(u^p_{n})$, où $O$ désigne grand $O$

peut-on en déduire que

$ \sum_{k=1}^{n}u_{k}$ ne soit pas $O(u_{n})$ ?

Sinon un contre exemple

Merci.

JLT · February 2019

Contre-exemple avec $u_n=e^n$ ?

Poirot · February 2019

@JLT : $$\sum_{k=1}^n \mathrm{e}^k = \frac{1-\mathrm{e}^{n+1}}{1-\mathrm{e}} = \mathrm{e}^n \left(\frac{\mathrm{e}^{-n}-1}{1-\mathrm{e}}\right) = O(\mathrm{e}^n)$$ non ?

JLT · February 2019

La question d'etanche était «(...) ne soit pas un O».

etanche · February 2019

En fait la version initiale de l'exo est

$p > 1$ fixé, une suite $u_{n}$ strictement positive.

on suppose $ \sum_{k=1}^{n}(u_{k})^{p}=O(u^p_{n})$, où $O$ désigne grand $O$

Montrer que

$ \sum_{k=1}^{n}u_{k}=O(u_{n})$ ?

Je me suis dit que ça doit être faux

Peut-on trouver une suite $u_{n}>0$ telle que
$ \sum_{k=1}^{n}(u_{k})^{p}=O(u^p_{n})$

et

$ \sum_{k=1}^{n}u_{k}$ ne soit pas $O(u_{n})$

Les suites de la forme $u_{n}=q^n$ avec q>1 ne conviennent pas

Peut-être faut une suite $u_{n}>0$ non strictement croissante avec

$ \sum_{k=1}^{+\infty}(u_{k})^{p}$ divergente

JLT · February 2019

En tout cas l'exercice est vrai au moins si la suite est croissante. Supposons que pour tout $n$, on ait $u_1^p+\cdots+u_n^p\leqslant Cu_n^p$. Soit $k\geqslant 0$. Considérons $A$ l'ensemble des $j$ tels que $\displaystyle \frac{u_n}{2^{k+1}}<u_j\leqslant \frac{u_n}{2^k}$. S'il est non vide, soit $m$ son plus grand élément. Alors $\displaystyle C\frac{u_n^p}{2^{kp}}\geqslant Cu_m^p\geqslant \sum_{j=1}^m u_j^p\geqslant \# A\, \frac{u_n^p}{2^{(k+1)p}}$ donc $\#A\leqslant 2^pC$. On en déduit que $\displaystyle \sum_{j=1}^n u_j\leqslant\sum_k 2^pC\frac{u_n}{2^k}=2^{p+1}Cu_n$.

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