Majoration d'une expression

Bonjour je bloque sur une question d'un exercice, je vais exposer mon raisonnement, afin de donner le plus de détails.
Soit \[
u_n(z) = \dfrac{(1+z)^{2n}}{7^nz^{n+1}}
\] Je dois montrer que $ \sum_{n \geqslant 0} u_n (e^{it})$ converge normalement sur $[0, 2 \pi]$.

J'ai donc essayé de majorer $| u_n (e^{it}) |$
\begin{eqnarray*}
|u_n (e^{it})| & = & \left| \dfrac{ \sum_{k=0}^{2n} C_{2n}^{k} e^{kit}}{7^ne^{i(n+1)t}} \right| \\
& = & \left| \dfrac{1}{7^n e^{i(n+1)t}} + \dfrac{C_{2n}^{1} e^{it} }{7^n e^{i(n+1)t}} + \cdots + \dfrac{C_{2n}^{n} e^{nit} }{7^n e^{i(n+1)t}} +\cdots+ \dfrac{e^{2nit} }{7^n e^{i(n+1)t}} \right|
\end{eqnarray*} Or d'après la question précédente j'ai montré que $C_{2n}^{n} \leqslant 4^n$. Or \[
\forall n \geqslant 0 ,\quad \max_{k \in \text{[0,2n]} } \{ C_{2n}^{k} \} = C_{2n}^{n} \leqslant 4^n

\] Alors je majore comme suit
\begin{eqnarray*}
|u_n(e^{it})| & \leqslant & \left| \frac{1}{7^n} \right| + \left| \frac{C_{2n}^{1} }{7^n} \right| + \cdots + \left| \frac{C_{2n}^{n} }{7^n} \right| + \cdots + \left| \frac{1}{7^n} \right| \\ & \leqslant & 2n \left(\dfrac{4}{7}\right)^n

\end{eqnarray*} En faisant cela je ne suis pas sûr que je puisse dire que $ \sum_{n \geqslant 0} u_n (e^{it})$ converge normalement, est-ce que la majoration que j'ai faite ici est-elle pertinente ?
Cordialement.

[Restons dans la discussion que tu as ouverte pour ton problème. AD]